Question

O valor de S= i+i²+i³+... +i^20 é:

a) 0
b) 1+i
c) 1-i
d) -1+i
e) -1-i

Answer 1

Olá.

Temos uma questão de somatório de números complexos. Temos a operação:

$\large\boxed{\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(i^k)=i^1+i^2+i^3+...+i^{20}}}$

O ponto principal para a resolução é que há semelhanças entre os valores em módulo de 4. Demonstro-as:

+i = i¹ = i⁵ = i⁹ =
-1 = i² = i⁶ = i¹⁰
-i = i³ = i⁷ = i¹¹
+1 = i⁴ = i⁸ = i¹² 

E assim sucessivamente. A quantidade de sequências iguais é o quociente de 20 / 4, logo, 5. Sendo assim, podemos reescrever esse somatório de outra maneira. Teremos:

$\large\boxed{\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(i^k)=i^1+i^2+i^3+...+i^{20}=5(i^1+i^2+i^3+i^4)}}$

Substituindo os valores das potências de i, teremos:

$\large\begin{array}{l} \mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(i^k)=5(i^1+i^2+i^3+i^4)}\\\\ \mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(i^k)=5(i+(-1)+(-i)+1)}\\\\ \mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(i^k)=5(i-1-i+1)}\\\\ \mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(i^k)=5(i-i+1-1)}\\\\ \mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(i^k)=5(0)}\\\\ \boxed{\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(i^k)=0}}\\\\ \end{array}$

A resposta correta está na alternativa A.

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Bons estudos$.$