Question

O valor de revenda de certa maquina industrial diminui a uma taxa que varia com o tempo. Quando a maquina tem t anos de idade, a taxa com que o valor está mudando é v'(t)=-960*e^-t/5 reais por dia. Se a maquina foi comprada nova por R $5.000, 00, quanto valerá a 10 anos?

Answer 1

Temos a função derivada, que retorna a taxa instantânea. Porém, queremos encontrar o valor total, e não o instantâneo.
Precisamos aplicar a integral sobre a função:

$v_{(t)} = \displaystyle \int (-960\times e^{-\frac{t}{5}})dt\\\\ v_{(t)} = -960\int (e^{-\frac{t}{5}})dt\\\\ v_{(t)} = -960 \times \dfrac{e^{-\frac{t}{5}}}{-\frac{1}{5}}+constante\\\\ v_{(t)} = 960 \times 5e^{-\frac{t}{5}}+constante\\\\ v_{(t)} = 4.800e^{-\frac{t}{5}}+constante\\\\ v_{(t)} = \dfrac{4.800}{e^{\frac{t}{5}}}+constante$


$Encontrando\ o\ valor\ da\ constante:\\\\ Para\ t=0\ temos\ que\ v_{(t)}=5.000\\\\ 5.000 = \dfrac{4.800}{e^{-\frac{0}{5}}}+constante\\\\ constante = 5000 - 4800\\\\ \boxed{constante = 200}\\\\\\ Fun\c{c}\~ao\ completa:\\\\ v_{(t)}=\dfrac{4.800}{e^{-\frac{t}{5}}}+200$



$Para\ t=10:\\\\ v_{(t)} = \dfrac{4.800}{e^{\frac{10}{5}}}+200\\\\ v_{(t)} = \dfrac{4.800}{e^2}+200\\\\ v_{(t)} \approx \dfrac{4.800}{7,389056}+200\\\\ \boxed{v_{(t)} \approx R\ \ 849,61}$



Espero ter ajudado.
Bons estudos!