Question

O valor de α para que seja 45º o angulo entre os vetores u = (2, 1) e v = (1, α) é:

a. α = 3 ou α = 3

b. α = 3 ou α = -3

c. α = 3 ou α = - 1/3

d. α = -3 ou α = - 1/3

e. α = 3 ou α = 1/3

Answer 1

✅ Os valores de α para que seja o ângulo de 45º entre os vetores $\large\displaystyle\begin{gathered} \vec{u}=(2,1) \end{gathered}$ e $\large\displaystyle\begin{gathered} \vec{v}=(1,a)\end{gathered}$  são respectivamente 3 e -1/3. ( alternativa c ).

❏ Para resolver sua questão, temos que aplicar a seguinte fórmula:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boxed{\cos (\theta) =\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\ \vec{u}\ ||\cdot ||\ \vec{v}\ ||}}}} \end{gathered} }$

❏ Vamos então calcular o produto escalar ( $\large\displaystyle\begin{gathered} \vec{u}\cdot \vec{v} \end{gathered}$ ), para calcular é simples, basta multiplicarmos os que estão em posições iguais, logo:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{u}\cdot \vec{v} =(2,1) \cdot (1,a)\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{u}\cdot \vec{v} =2\cdot 1+1\cdot a\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore \vec{u}\cdot \vec{v} = 2+ a\end{gathered}$

❏ Agora devemos calcular a norma ( módulo ) dos vetores, sabendo que a norma de um vetor é dado pela seguinte fórmula:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \boxed{\boxed{ ||\ \vec{v}\ ||= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2+\dots+v^2_n} }}\end{gathered} }$

• ✍️ Sabendo disso, temos que:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}||\ \vec{u}\ || =\sqrt{u_1^2+u_2^2} \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Large\displaystyle\begin{gathered}||\ \vec{v}\ || =\sqrt{v_1^2+v_2^2} \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}||\ \vec{u}\ || =\sqrt{2^2+1^2} \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Large\displaystyle\begin{gathered}||\ \vec{v}\ || =\sqrt{1^2+a^2} \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}||\ \vec{u}\ || =\sqrt{4+1} \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Large\displaystyle\begin{gathered}||\ \vec{v}\ || =\sqrt{1\cdot 1+a^2} \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}||\ \vec{u}\ || =\sqrt{5} \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Large\displaystyle\begin{gathered}||\ \vec{v}\ || =\sqrt{1+a^2} \end{gathered}$

❏ Agora é bem simples, basta substituir na fórmula , ficando então:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \cos (\theta) =\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\ \vec{u}\ || \cdot ||\ \vec{v} \ ||}\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \cos (45^{\circ}) =\frac{2+a}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{1+a^2} }\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{2+a}{\sqrt{5\cdot (1+a^2)} }\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{2+a}{\sqrt{5+5a^2} }\end{gathered} }$

❏ Vamos agora multiplicar cruzado.

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sqrt{2} \cdot \sqrt{5+5a^2}=2\cdot (2+a) \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sqrt{2\cdot (5+5a^2)} =4+2a\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \left(\sqrt{10+10a^2}\right)^2 =\left(4+2a\right)^2\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}10+10a^2=16+16a+4a^2\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore 6a^2-16a-6=0\end{gathered}$

❏ Agora é só resolver essa simples equação do segundo grau e correr pro abç, para calcular essa eq irei utilizar a bhaskara.

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}a=\frac{-(-16)\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot 6\cdot (-6)} }{2\cdot 6} \end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}a=\frac{16\pm\sqrt{400} }{2\cdot 6} \end{gathered} }$  

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}a=\frac{16\pm20}{12} \rightarrow \begin{cases} a'=\frac{36}{12} =\green{\underline{\boxed{3}}}\\\\ a''=-\frac{4}{12}=\green{\underline{\boxed{-\frac{1}{3}}}}\end{cases}\end{gathered} }$

✅ Portanto, a alternativa correta é a c).

 

⇒ Veja mais sobre ( Álgebra Linear ):

• brainly.com.br/tarefa/48411557

Answer 2

Resposta:

Letra c, onde α = 3 ou α = - 1/3

Explicação passo a passo: