Question

O valor de "m" para que o vetor V= 2i+j-k forme um ângulo de 60° com o vetor AB que é determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B (4, 0, m), é igual à:



OBS: quero os Cálculos, resposta Corretamente, sem Brincadeira​

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre álgebra linear.

Dados dois pontos $P_0~(x_0,~y_0,~z_0)$ e $P~(x,~y,~z)$ em um sistema de coordenadas, onde o produto interno é bem definido, o vetor diretor do segmento de reta que une estes pontos é dado por: $\overrightarrow{P_0P}=P-P_0=(x-x_0,~y-y_0,~z-z_0)$.

Um vetor escrito como combinação linear dos vetores $\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}$, isto é: $\vec{v}=\alpha\cdot \vec{i}+\beta\cdot \vec{j}+\gamma\cdot \vec{k}$ pode ser escrito em formato de coordenadas, onde cada uma delas é o respectivo coeficiente da combinação: $\vec{v}=(\alpha,~\beta,~\gamma)$.

Sejam os vetores $\vec{u}=(u_1,~u_2,~\cdots,~u_n)$ e $\vec{v}=(v_1,~v_2,~\cdots,~v_n)$, o produto interno de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ pode ser calculado pelas fórmulas: $\vec{u}\cdot \vec{v}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+\cdots +u_n\cdot v_n=||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||\cdot \cos(\theta)$, onde $||\vec{u}||=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+\cdots+{u_n}^2}$ é a norma do vetor e $\theta$ é o ângulo formado entre os vetores.

Pondo o vetor $\vec{v}=2\,\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$ em formato de coordenadas, temos: $\vec{v}=(2,~1,\,-1)$.

Calculando o vetor diretor do segmento de reta que une os pontos $A$ e $B$, temos:

$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,~0,~m)-(3,~1,\,-2)=(1,\,-1,~m+2)$

Então, calculamos o produto interno dos vetores de modo que o ângulo $\theta=60^{\circ}$

$1\cdot2+(-1)\cdot1+(m+2)\cdot(-1)=\sqrt{1^2+(-1)^2+(m+2)^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\cdot \cos(60^{\circ})$

Calcule as potências, multiplique e some os valores. Lembre-se que $\cos(60^{\circ})=\dfrac{1}{2}$

$2-1-m-2=\sqrt{1+1+m^2+4m+4}\cdot\sqrt{4+1+1}\cdot \dfrac{1}{2}\\\\\\ -1-m=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot \sqrt{m^2+4m+6}$

Elevando ambos os lados da igualdade à segunda potência, temos:

$(-1-m)^2=\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot \sqrt{m^2+4m+6}\right)^2\\\\\\ 1+2m+m^2=\dfrac{3}{2}\cdot(m^2+4m+6)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$m^2+2m+1=\dfrac{3m^2}{2}+6m+9$

Subtraia $\dfrac{3m^2}{2}+6m+9$ em ambos os lados da igualdade e some os termos semelhantes

$-\dfrac{m^2}{2}-4m-8=0$

Esta é uma equação quadrática de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, cujas soluções podem ser calculadas pela fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Substituindo os coeficientes $a=-\dfrac{1}{2},~b=-4$ e $c=-8$, teremos:

$m=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot(-8)}}{2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$m=\dfrac{4\pm\sqrt{16-16}}{-1}\\\\\\ m=\dfrac{4}{-1}\\\\\\ \boxed{m=-4}~~\checkmark$

Este é o valor de $m$ que satisfaz as condições do enunciado.