Question

O valor de "m" para que o vetor V= 2i+j-k forme um ângulo de 60° com o vetor AB que é determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B (4, 0, m), é igual à:
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Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em álgebra linear.

Primeiro, lembre-se que o vetor que une dois pontos do espaço tridimensional $C~(x_0,~y_0,~z_0)$ e $D~(x_1,~y_1,~z_1)$ é dado por: $\overrightarrow{CD}=D-C=(x_1-x_0,~y_1-y_0,~z_1-z_0)$.

O cosseno do ângulo $\theta$ formado entre os vetores $\vec{u},~\vec{v}$, não nulos, pode ser calculado pela fórmula: $\cos(\theta)=\dfrac{\left\langle \vec{u},~\vec{v}\right\rangle}{||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||}$, em que $\left\langle u,~v\right\rangle$ é o produto escalar entre os vetores e $||\vec{u}||$ é a norma do vetor.

No espaço tridimensional, o produto escalar de dois vetores $\vec{u},~\vec{v}$ dados pelas coordenadas $(u_1,~u_2,~u_3)$ e $(v_1,~v_2,~v_3)$ é dado por: $\left\langle{\vec{u},~\vec{v}\right\rangle=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3$.

A norma de um vetor dado pelas coordenadas $(u_1,~u_2,~u_3)$ é calculado pela fórmula: $||\vec{u}||=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}$.

Um vetor dado no formato $\vec{w}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ pode ser reescrito em coordenadas $\vec{w}=(a,~b,~c)$.

Assim, teremos que $\overrightarrow{V}=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}=(2,~1,\,-1)$

Então, calculamos o vetor $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{AB}=B-A=(4,~0,~m)-(3,~1,\,-2)=(1,\,-1,~m+2)$

Substituímos os dados na fórmula anterior para encontrarmos o valor de $m$

$\cos(60^{\circ}})=\dfrac{\left\langle\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{V}\right\rangle}{||\overrightarrow{AB}||\cdot ||\overrightarrow{V}||}\\\\\\ \dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot 2+(-1)\cdot 1+(m+2)\cdot (-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(m+2)^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{-m-1}{\sqrt{m^2+4m+6}\cdot\sqrt{6}}$

Eleve ambos os lados da igualdade ao quadrado

$\dfrac{1}{4}=\dfrac{m^2+2m+1}{6\cdot(m^2+4m+6)}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $6\cdot (m^2+4m+6)$

$\dfrac{3m^2}{2}+6m+9=m^2+2m+1$

Subtraia $m^2+2m+1$ em ambos os lados da igualdade e some os termos semelhantes

$\dfrac{m^2}{2}+4m+8=0$

Resolva a equação quadrática:

$m=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 8}}{2\cdot\dfrac{1}{2}}\\\\\\ m=-4~~\checkmark$

Estas são as soluções para $m$ que satisfazem estas condições.