Question

O valor de m para que a reta r: (x, y, z)=(1,2,1)+(1,3,5)t e o plano f: 4x-my+7z=0 sejam paralelas é;

Answer 1

Para que uma reta e um plano sejam paralelos, basta que eles não tenham pontos em comum ou a reta pertença ao plano.

Perceba que um ponto (x, y, z) qualquer pertencente à reta r pode ser expresso da seguinte forma, para algum t real:

(x, y, z) = (1, 2, 1) + (1, 3, 5)t = (t + 1, 3t + 2, 5t + 1)

Substitua (t + 1) por x, (3t + 2) por y e (5t + 1) por z na equação do plano e simplifique o máximo possível:

4(t + 1) - m(3t + 2) + 7(5t + 1) = 0

(39 - 3m)t = 2m - 11

Para que a reta e o plano sejam paralelos, devemos achar m tal que a equação acima não seja satisfeita para qualquer t (ou seja satisfeita para todo t; mas esse não é o caso). Basta colocarmos a condição 39 - 3m = 0; portanto, para m = 13, não existe t tal que (39 - 3m)t = 2m - 11.

Resposta: m = 13.