Question

O valor de m, considerando que as retas r:$\left \{{{x=2mt -3} \atop {y=1+3t}} \right. s: \left \{ {{x=2y-1} \atop {z=-y+4}} \right. \{ {{z=-4t}$  são ortogonais, está expresso na alternativa.


a) m=2

b) m= -7/4

c) m= 7/4

d)m= -1/3

e) m=5

Answer 1

⇒Equação Paramétrica da reta $r$:

    { x = -3+2mt 
r:  { y = 1+3t 
    { z = -4t

Analisando equação acima podemos definir o vetor diretor da reta. Definimos então  $\vec{v1}=\left(2m,3,-4\right)\:\in \:r$.

⇒Equação reduzida da reta $s$ em função de $y$:
   
    {x = 2y-1
y: {z = -y+4

Para determinarmos o vetor diretor da reta $s$ temos que encontrar 2 pontos pertencentes a reta.

Escolhendo um valor para o ponto $y$ qualquer. Tomaremos então y = 0, substituindo na equação ficamos com:

x = (2×0) - 1 = -1
z = -0 + 4 = 4

$\bullet$Concluímos que o ponto $A=\left(-1,0,4\right)\in s$.

Escolhendo outro valor para, temos então y = 1, substituindo na equação ficaremos com:

x = (2×1) - 1 = 1
z = -1 + 4 = 3

$\bullet$Concluímos que o ponto $B=\left(1,1,3\right)\in s$.

Como a reta "s" passa por A e B, a reta terá como vetor diretor o vetor $\vec{AB}$.

$\vec{AB}=B-A\\B-A=\left(1,1,3\right)-\left(-1,0,4\right)\\B-A=\left(2,1,-1\right)\\\vec{v2}=\vec{AB}=\left(2,1,-1\right)$

⇒ A questão informa que a reta $r$ e ortogonal a reta $s$, ou seja o 

$cos \theta =0\\\\\vec{v1}\cdot \vec{v2}=0\\\left(2m,3,-4\right)\cdot \left(2,1,-1\right)=0\\\left(4m\cdot 1\right)+\left(3\cdot 1\right)+\left(-4\cdot \left(-1\right)\right)=0\\4m+3+4=0\\4m+7=0\\4m=-7\\\boxed{\bold{m=-\frac{7}{4}}}$