Question

O valor de lim ex-e3/ x-3 x tendendo a 3 vale:

Answer 1

$L=\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{e^x-e^3}{x-3}\\ \\ \text{Regra de L'Hospital} \\ \\ L=\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{(e^x-e^3)'}{(x-3)'}\\ \\ L=\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{e^x}{1}\\ \\ \\ \boxed{L=e^3}$

Answer 2

Calcular o limite

$L=\underset{x \to 3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-e^{3}}{x-3}$


Fazendo a seguinte mudança de variável:

$u=x-3\;\;\Rightarrow\;\;x=u+3$

temos que

$u\to 0$ quando $x\to 3.$


Fazendo as devidas substituições, temos

$L=\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{u+3}-e^{3}}{u}\\ \\ \\ L=\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{u}\cdot e^{3}-e^{3}}{u}$


Colocando $e^{3}$ em evidência no numerador, temos

$L=\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{3}\cdot (e^{u}-1)}{u}\\ \\ \\ L=e^{3}\cdot \underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{u}-1}{u}$


Fazendo outra mudança de variável:

$e^{u}-1=v\;\;\Rightarrow\;\;u=\mathrm{\ell n\,}(v+1)$

temos que

$v\to 0$ quando $u\to 0.$
 

Fazendo as substituições novamente, temos

$L=e^{3}\cdot \underset{v \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{v}{\mathrm{\ell n\,}(v+1)}\\ \\ \\ L=e^{3}\cdot \underset{v \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{\frac{1}{v}\cdot \mathrm{\ell n\,}(v+1)}\\ \\ \\ L=e^{3}\cdot \underset{v \to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{\mathrm{\ell n\,}(v+1)^{1/v}}\\ \\ \\ L=e^{3}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{\ell n}\left[\underset{v \to 0}{\mathrm{\ell im}}\,(v+1)^{1/v} \right ]}$


O limite no denominador é o limite exponencial fundamental:

$\underset{v\to 0}{\mathrm{\ell im}}\,(v+1)^{1/v}=e$


Então, chegamos a

$L=e^{3}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{\ell n\,}e}\\ \\ \\ L=e^{3}\cdot \dfrac{1}{1}\\ \\ \\ L=e^{3}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c}\underset{x \to 3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{e^{x}-e^{3}}{x-3}=e^{3} \end{array}}$