Question

O valor de K para que a equação x²-kx+K+1=0 admita duas raízes naturais e consecutivas é:

Answer 1

Olá Bia!

$\mathsf{Seja \ r \in \mathbb{N} \ uma \ das \ ra\acute{i}zes.}$

$\mathsf{Com \ efeito, \ (r + 1) \ ser\acute{a} \ a \ outra \ raiz.}$

Com isso, fazemos:

$\\ \mathsf{a(x - r)[x - (r + 1)] = x^2 - kx + (k + 1)} \\\\ \mathsf{a(x - r)(x - r - 1) = x^2 - kx + (k + 1)} \\\\ \mathsf{a(x^2 - rx - x - rx + r^2 + r) = x^2 - kx + (k + 1)} \\\\ \mathsf{a[x^2 - (r + 1 + r)x + (r^2 + r)] = x^2 - kx + (k + 1)} \\\\ \mathsf{ax^2 - (2ar + a)x + (ar^2 + ar) = x^2 - kx + (k + 1)}$

 Por comparação,

$\\ \mathsf{ax^2 - (2ar + a)x + (ar^2 + ar) = x^2 - kx + (k + 1)} \\\\ \begin{cases} \boxed{\mathsf{a = 1}} \\ \mathsf{2ar + a = k \Rightarrow 2r + 1 = k \qquad \qquad \qquad (i)} \\ \mathsf{ar^2 + ar = k + 1 \Rightarrow r^2 + r = k + 1 \qquad \ (ii)} \end{cases} \\\\\\ \mathsf{Substituindo \ (i) \ em \ (ii),}$

$\\ \mathsf{r^2 + r = k + 1} \\ \mathsf{r^2 + r = (2r + 1) + 1} \\ \mathsf{r^2 - r - 2 = 0} \\ \mathsf{(r - 2)(r + 1) = 0} \\ \boxed{\mathsf{r = 2}} \\ \boxed{\mathsf{r = - 1}}$

$\mathsf{Todavia, \ vale \ salientar \ que \ - 1 \notin \mathbb{N}.}$

$\mathsf{Desse \ modo, \ podemos \ concluir \ que \ \boxed{\boxed{\mathsf{r = 2}}}.}$

$\mathsf{ Por \ fim, \ encontramos \ \underline{k}. \ Segue,}$

$\\ \mathsf{k = 2r + 1} \\ \mathsf{k = 2 \cdot 2 + 1} \\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{k = 5}}}}$

 Espero ter ajudado!