Question

O valor de K para que a equação do segundo grau 2x² – 12x + 3K = 0 tenha raízes reais e iguais é:
(A) 0.
(B) 2.
(C) 4.
(D) 6.

Answer 1

Bom dia.

Os resultados dos valores das raízes em uma equação de segundo grau estão ligados, sobretudo, ao valor do discriminante.

Dependendo do valor de delta (o discriminante) é possível tomarmos algumas conclusões, antes mesmo de inferir o valor individual das raízes.

Diz-se que:

Para as raízes da equação serem iguais:

Δ = 0 (Mais à frente demonstro o porquê).

Assim sendo:

Para:

2x² – 12x + 3K = 0

Em que:

a (coeficiente/ número que multiplica x²) ----> 2

b (coeficiente/ número que multiplica x) ----> - 12

c (termo independente) -----> 3

Considerando duas raízes reais iguais:

Δ = 0

Δ = (b)² - 4ac

0 = (-12)² -4.(3k).(2)

0 = 144 - 4.(3k).(2)

0 = 144 – 24k

24k = 144

k = 144/24

k = 6

O valor de K deverá ser 6.

Esclarecimentos:

Para resolver uma equação de 2º grau, de forma geral, primeiro se calcula:

Δ = (b)² - 4ac

E do valor de Δ, obtemos Bhaskara:

x = -b ± √Δ

     -----------

          2a

Note que a fórmula de Bhaskara já envolve Δ dentro de uma raiz.

Isso traz algumas consequências.

1ª Se Δ for negativo, a raiz quadrada não existe (não há raiz quadrada negativa que pertença ao conjunto dos números reais). Nesse caso, também não haverá raízes reais da equação.

2ª Se Δ for igual a 0, os valores das raízes da equação x1 e x2 serão os mesmos;

x = -b ± √0

     -----------

          2a

x = -b ± 0

     -----------

          2a

x1 = (-b + 0)  =  -b

      -----------    -----

           2a         2a

x2 =  (-b - 0)   =  -b

       -----------      ----

           2a           2a

3ª Se Δ for positivo, haverá raízes reais da equação e essas serão distintas, já que em x1 se considerará o valor + √Δ e em x2 - √Δ.

Dessa forma se estabeleceu:

Δ < 0 (DELTA NEGATIVO) -----> Não há raízes reais.

Δ = 0 (DELTA IGUAL A 0) ------> Há duas raízes reais idênticas.

Δ > 0 (DELTA POSITIVO) -------> Há duas raízes reais diferentes.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Para que a equação tenha raízes reais e iguais, devemos ter $\sf \Delta=0$

$\sf \Delta=(-12)^2-4\cdot2\cdot3k$

$\sf \Delta=144-24k$

Igualando a zero:

$\sf 144-24k=0$

$\sf -24k=-144~~~\cdot(-1)$

$\sf 24k=144$

$\sf k=\dfrac{144}{24}$

$\sf \red{k=6}$

Letra D