Question

o valor da soma : log 10 1/2 + log10 2/3 + log10 3/4 ... + log10 99/100

Answer 1

Boa tarde

S = log(1/2) + log(2/3) + log(3/4) + ... + log(99/100) 

S = -log(2) + log(2) - log(3) + log(3) - log(4) + ... -log(99) + log(99) - log(100)

S = -log(100) = -2 

Answer 2

É importante lembrar que log(x) + log(y) = log(xy)

Daí, essa soma toda é igual a:

$log_{10}\left( \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times ...\times 97 \times 98 \times 99}{2 \times 3 \times 4 \times ...\times 98 \times 99 \times 100}\right)$

Repare que todos os números de 2 a 99 no numerador e no denominador se "cancelam": 

$log_{10}\left(\dfrac{1 \times \not{2} \times \not{3} \times ...\times \not{97} \times \not{98} \times \not{99}}{\not{2} \times \not{3} \times \not{4} \times ...\times \not{98} \times \not{99} \times 100}\right)$

Sobra:

$log_{10}\left( \dfrac{1}{100} \right) = \\ \\ log_{10}\left(10^{-2}} \right) = \\ \\ -2 \cdot log_{10}\left(10} \right) \\ \\ \boxed{-2}$