Question

O valor da integral:

$\displaystyle\int \sf{ [\sqrt{2} \cdot tan^3(2x)\cdot sec(2x)]}^2 dx$

Sendo c uma constante, é:

$\sf \large a) sec^2(2x) +tan^2(2x) +c$

$\sf \large b) \dfrac{sec^2(2x)+tan^2(2x) }{tan(2x) }+c$

$\sf \large c) arctg(ln x) +c$

$\sf \large d) \dfrac{tan^7(2x) }{7 }+c$

$\large \sf e) \sqrt{tan(2x)} +sen(2x) +c$

Answer 1

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int[\sqrt{2}\cdot tg^3(2x)\cdot sec(2x)]^2dx=\int (tg^3(2x))^2\cdot sec^2(2x)\cdot 2\,dx\\\underline{\boldsymbol{fac_{\!\!,}a}}\\\sf u=tg(2x)\\\sf du=sec^2(2x)\cdot 2dx\\\displaystyle\sf\int (tg^3(2x))^2\cdot sec^2(2x)\cdot 2dx=\int (u^3)^2\cdot du=\int u^6~du\\\sf=\dfrac{1}{7}u^7+c\\\underline{\rm substituindo~temos\!:}\\\displaystyle\sf\int[\sqrt{2}\cdot tg^3(2x)\cdot sec(2x)]^2~dx=\dfrac{tg^7(2x)}{7}+c\end{array}}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf \maltese~alternativa~d}}}}$

Answer 2

Para c como uma constante, o valor da integral será $\bf \dfrac{tan^7(2x) }{7}+c$

$\boxed{\rm \bf Alternativa\:correta \Rightarrow D}$

Integração por substituição u.du

É uma forma de simplificação da integral através da substituição por uma regra de x => u.du.

Feita a integração de u.du em x, devemos voltar para a variável x novamente pela substituição, tal que:

$\large {\begin{array}{lr}\bf \int[\sqrt{2}\cdot tg^3(2x)\cdot sec(2x)]^2dx= \bf \int (tg^3(2x))^2\cdot sec^2(2x)\cdot 2\,dx\end{array}}$

E

$\bf u=tg(2x)\\\bf du=sec^2(2x)\cdot 2dx$

◕ Hora do cálculo

Substituição x => u.du

$\bf \int (tg^{3}(2x))^{2}\cdot sec^{2}(2x)\cdot 2\,dx=\\\int tg^{6}(2x) . sec^{2}(2x)=\\\int u^6~du=\\\boxed{\bf \dfrac{1}{7}u^7+c}$

Substituição u.du => X

$\bf \dfrac{1}{7}u^7+c=\\\dfrac{1}{7}tg^7(2x)+c=\\\boxed{\bf \dfrac{tg^7(2x)}{7}+c}$

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Dúvidas? Estarei a disposição para eventuais esclarecimentos.

$\textsf{\textbf{Bons\ estudos!}}\\\\\textsf{Pode\,avaliar\,a\,minha\,resposta}?\, \textsf{Isso\,me\,ajuda\,a\,melhora-las}\star\star\star\star\star\\\textsf{Ou\,marque\,como\,a\,melhor\,\textbf{se\,ela\,for\,qualificada}}\\\\\textsf{\textbf{Brainly}\,-\,Para estudantes. Por estudantes}$