Question

O valor da integral pi ate 0 de e^x cosx dx é:

Answer 1

$\Large{ \int_{\pi}^{0} e^xcos(x) \, dx}$

Calcularei primeiro a integral indefinida, usando o método de integração por partes:

$\int_{}^{} fg' = fg - \int_{}^{}fg' \\\\ f = cos(x) \Rightarrow f' = -sen(x) \\\\ g' = e^x \Rightarrow g = e^x \\\\ \int_{}^{} e^xcos(x) \, dx = e^xcos(x) - \int_{}{} -e^xsen(x) \, dx \\ ------------- \\\\ f = - sen(x) \Rightarrow f' = -cos(x) \\\\ g' = e^x \Rightarrow g = e^x \\\\ \int_{}^{} e^xcos(x) \, dx = e^xcos(x) - ( -e^xsen(x) - \int_{}^{}-e^xcos(x) \, dx ) \\\\ \int_{}^{} e^xcos(x) \, dx = e^xcos(x) - ( - e^xsen(x) + \int_{}^{}e^xcos(x) \, dx) \\\\ 2\int_{}^{}e^xcos(x) \, dx = cos(x)e^x + sen(x)e^x \\\\ \boxed{ \int_{}^{}e^xcos(x) = { cos(x)e^x + sen(x)e^x \over 2} + C{,} \: C \in \mathbb{R} }$

Aplique os limites de integração ( f(0) - f(π) ):

${ cos(0)e^0 + sen(0)e^0 \over 2 } - { cos(\pi)e^{\pi} + sen(\pi)e^{\pi} \over 2} \\\\ { 1 \times 1 + 0\times 1 \over 2 } - { -e^{\pi} + 0e^{\pi} \over 2} \\\\ { 1 \over 2 } - { -e^{\pi} \over 2} \\\\ { 1 \over 2} + { e^{\pi} \over 2} \\\\ \boxed{ \boxed{ { e^{\pi} + 1 \over 2}} }$