Question

O valor da integral definida limite superior 3 inferior 1 (x+1)^3 dx é:

Answer 1

Olá.

$\int\limits^3_1 {(x+1)^3} \, dx$

Lembra lá da 5ª série? Onde aprendemos sobre produtos notáveis "o cubo do primeiro mais tres vezes o quadrado do segundo mai..", então, será bem útil na resolução desta integral 

$\int\limits^3_1 {(x+1)^3} \, dx = x^3+3x^2+3x+1$

Integrando..

$\int\limits^3_1 {(x+1)^3} \, dx = \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{3x^2}{2} + x$

Pronto. Agora que ja integramos, basta substituir os valores dos limites em "x". Lembrando que limite superior - limite inferior.

$\frac{81}{4}+ \frac{27}{1}+ \frac{27}{2}+ \frac{3}{1} = \frac{81+108+54+12}{4}$ 

$\frac{255}{4}$

$\frac{1}{4}+1+ \frac{3}{2} + 1 = \frac{1+4+6+4}{4}= \frac{15}{4}$

$\frac{255}{4} - \frac{15}{4} = \boxed { 60 u.a }$

Espero ter ajudado.
Bons estudos!!
=)

Answer 2

Olá


Integração por substituição 



$\displaystyle \mathsf{\int\limits^3_ 1{(x+1)^3} \, dx }$



Fazendo a substituição 'udu'


u = x+1
du = dx             (du é a derivada de u)


Substituindo na integral


$\displaystyle \mathsf{\int\limits^3_ 1{u^3} \, du }$


Integra pela regra:    $\displaystyle \mathsf{\int\limits{x^p} \, dx~=~ \frac{x^{p+1}}{p+1} }$


Integrando



$\displaystyle \mathsf{ \left(\frac{u^{3+1}}{3+1}\right) \bigg|^3_1}\\\\\\\\\mathsf{ \left(\frac{u^{4}}{4}\right) \bigg|^3_1}$


Lembrando que: u = x+1


$\displaystyle \mathsf{ \left(\frac{(x+1)^{4}}{4}\right) \bigg|^3_1}$



Substituindo os limites de integração


$\displaystyle \mathsf{ \left(\frac{(3+1)^{4}}{4}\right)~-~\left(\frac{(1+1)^{4}}{4}\right) }\\\\\\\mathsf{ \frac{4^4}{4}~-~ \frac{2^4}{4} }\\\\\\\mathsf{\frac{256}{4}~-~ \frac{16}{4} }\\\\\\\mathsf{ \frac{256-16}{4} }\\\\\\\mathsf{ \frac{240}{4} }\\\\\\\boxed{\mathsf{60}}$




Dúvidas? Deixe nos comentários.






$\mathsf{AvengerCrawl\left(\smile \!\!\!\!\!\!\!^{'~'}\right)}$