Question

O Valor da Integral de 2x raiz de 1+x^2 dx é :

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int 2x. \sqrt{1 + x {}^{2} } dx$

Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição, esse método é usado quando tem-se uma função e a sua derivada ao mesmo tempo dentro da integral, a função chamada de "u" será (1 + x²), pois a derivada dessa função é 2x. Fazendo de uma forma mais elegante:

$u = (1 + x {}^{2} ) \longrightarrow \frac{du}{dx} = 2x\longrightarrow du = 2xdx$

Fazendo as devidas substituições de "u":

$\int 2xdx \sqrt{1 + x {}^{2} } \longrightarrow \int \sqrt{u} du \longrightarrow \int u {}^{ \frac{1}{2} } du$

Note que agora é uma integral bem simples de se resolver, o seu resultado será dado pela aplicação da regra da potência:

$\int u {}^{ \frac{1}{2} } du\longrightarrow \frac{u {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1} + k\longrightarrow \frac{u {}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + k\longrightarrow \frac{2u {}^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } + k$

Repondo a função que representa "u":

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{2(1 + x {}^{2}) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} + k, \: k\in\mathbb{R}}}}$

Espero ter ajudado vc