Question

O valor da integral ∫_1^e (lnx/x)dx é:
a. 0,67
b. 2
c. 0,5
d. 1
e. 0,33

Answer 1

Primeiramente, vamos resolver a integral, através da regra da substituição:

$\large{\boxed{\int\ \frac{lnx}{x}\ dx}}\\\\ u=lnx\\ du=\frac{1}{x}~dx\\ \\ Podemos~reescrever:\\ \\ \int~lnx\cdot\frac{1}{x}~dx\\ \\ Substituindo,\ temos\ que:\\ \\ \int~u~du\\ \\ Pela\ regra\ do\ polin\^omio:\\ \\\large\boxed{\int~x^n~dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}\\ \\ \int~u~du=\frac{u^{1+1}}{1+1}\\ \\ \int = \frac{u^2}{2}\\ \\ Voltando:\\ \\ \boxed{u=lnx}\\ \\ \large{\boxed{\int~\frac{lnx}{x}~dx=\frac{(lnx)^2}{2}+C}}$

$\\ \\ Agora,\ pela\ soma\ de\ Riemann:\\ \\ \int\limits^e_1 \frac{lnx}{x}~dx=\frac{(lne)^2}{2}-\frac{(ln1)^2}{2}\\ \\ \int\limits^e_1 \frac{lnx}{x}~dx=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}\\ \\ \int\limits^e_1 \frac{lnx}{x}~dx = \frac{1}{2}-0\\ \\ \large\boxed{ \int\limits^e_1 \frac{lnx}{x}~dx=\frac{1}{2}=0,5}}$

Answer 2

Resposta:

0,5

Explicação passo-a-passo:

corrigido pelo ava