Question

O valor da expressão $\frac{0,333... + (343)^{0,333... } -30^{-1}}{\sqrt{3}*(3\sqrt{7})^{1,5}}$ é:

a)$\frac{\sqrt[4]{7} }{9}$
b)$\frac{\sqrt{7} }{9}$
c)$\frac{7*\sqrt[4]{7} }{9}$
d)$\frac{7*\sqrt{7} }{9}$
e)$\frac{\sqrt[4]{7} }{63}$

Answer 1

Resposta:

a)

Explicação passo a passo:

Vamos iniciar a resolução simplificando os termos do numerador da fração.

0,0333...

Como é uma dizima periódica composta, devemos adicionar um zero ao 9 de acordo com a quantidade de números fora da dizima estiverem após a virgula. Como apenas um número está após a virgula, colocamos apenas 1 único 0. Logo:

0,0333... = $\frac{3}{90}$

O expoente que é uma dizima também pode ser reescrito em fração:

$0,333...$ = $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$

$\sqrt[3]{(343)}$

Último termo:

$30^{-1}$ = $\frac{1}{30}$

Tendo todos os membros do numerador como fração, calculamos:

$\frac{3}{90} + \frac{7}{1} - \frac{1}{30}$

$\frac{1+210-1}{30}$ $= \frac{210}{30} = 7$

Agora, a função inicial possui um número racional no numerador

Simplificando o denominador:

$\sqrt{3} * (3\sqrt{7})^{1,5}$

o expoente 1,5 é reescrito em fração como $\frac{3}{2}$

$\sqrt{3} * \sqrt{(3\sqrt{7})^{3} }$

Como os dois radicais possuem o mesmo nível (2), então será possível colocar os radicandos sobre uma mesma raiz. O produto dentro de dos parênteses terá expoente 2. O que anula a raiz de 7 e multiplica o 3 por ele mesmo.

$\sqrt{3*(3^{3}*\sqrt{7}^{3} )}$

$\sqrt{3^{4} * \sqrt{7}^{3} }$

$3^{2} \sqrt{\sqrt{7^{3} } }$

$9 * \sqrt[4]{7^{3} }$

Após realizar a simplificação, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fração por uma potência da raiz.

$\frac{7}{9 * \sqrt[4]{7^{3} } } * \frac{\sqrt[4]{7} }{\sqrt[4]{7} }$

$\frac{7 * \sqrt[4]{7} }{9 * 7}$

$\frac{\sqrt[4]{7} }{9}$