Question

o valor da expressão r² + r⁴ + r6 + ..... + r²^n / 1/r² + 1/r⁴ + 1/r^6 + ....... + 1/r²^n, sendo n natural não nulo, é:​

Answer 1

Basta reescrever o denominador de outra maneira, e colocar em evidência no numerador o r^2 e colocar em evidência no denominador o r^-2n, ou seja:

$\dfrac{ {r}^{2} + {r}^{4} + {r}^{6} + \cdots + {r}^{2n} }{ \dfrac{1}{ {r}^{2} } + \dfrac{1}{ {r}^{4} } + \dfrac{1}{ {r}^{6} } + \cdots + \dfrac{1}{ {r}^{2n} } } \\ = \dfrac{ {r}^{2} + {r}^{4} + {r}^{6} + \cdots + {r}^{2n} }{{r}^{ - 2} + {r}^{ - 4} + {r}^{ - 6} + \cdots + {r}^{ - 2n} } \\ = \dfrac{ {r}^{2} (1 + {r}^{2} + {r}^{4} + \cdots + {r}^{2n - 6}+ {r}^{2n - 4} + {r}^{2n - 2}) }{{r}^{ - 2n} ({r}^{2n - 2} +{r}^{2n - 4} + {r}^{2n - 6} + \cdots + {r}^{4} + {r}^{2} + 1 )} \\ = \dfrac{ {r}^{2} }{ {r}^{ - 2n} } = {r}^{2} \cdot {r}^{ 2n} ={ r}^{2 + 2n}$

Portanto, a resposta é a letra (d)