Question

O valor da expressão E = log₃ 2 . log₄ 3 . log₅ 4 . ... . log 9 é:
a) 0
b) log 2
c) log₄ 3
d) 1

Answer 1

Resposta:

b)

Explicação passo-a-passo:

Para resolver esse problema deve-se usar as seguintes propriedades:

$\log_ba=\frac{1}{\log_ab}$

$\log_b(a^c)=c\cdot\log_ba$

$\frac{\log_ca}{\log_cb}=\log_ba$

Vamos à resolução:

$\log_32\cdot\log_43\cdot\log_54\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\log_87\cdot\log_98\cdot\log_{10}9$

$\log_32\cdot\frac{1}{\log_34}\cdot\log_54\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{\log_78}\cdot\log_98\cdot\log_{10}9$

$\log_32\cdot\frac{1}{\log_3(2^2)}\cdot\log_5(2^2)\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{\log_7(2^3)}\cdot\log_9(2^3)\cdot\log_{10}(3^2)$

$\log_32\cdot\frac{1}{2\cdot\log_32}\cdot2\cdot\log_52\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{3\cdot\log_72}\cdot3\cdot\log_92\cdot2\cdot\log_{10}3$$\log_32\cdot\frac{1}{\log_32}\cdot\log_52\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{\log_72}\cdot\log_92\cdot2\cdot\log_{10}3$

$\log_32\cdot\frac{1}{\log_32}\cdot\log_52\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{\log_72}\cdot\frac{1}{\log_29}\cdot2\cdot\log_{10}3$

$\log_32\cdot\frac{1}{\log_32}\cdot\log_52\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{\log_72}\cdot\frac{1}{\log_2(3^2)}\cdot2\cdot\log_{10}3$

$\log_32\cdot\frac{1}{\log_32}\cdot\log_52\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{\log_72}\cdot\frac{1}{2\cdot\log_23}\cdot2\cdot\log_{10}3$

$\log_32\cdot\frac{1}{\log_32}\cdot\log_52\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{\log_72}\cdot\frac{1}{\log_23}\cdot\log_{10}3$

$\log_52\cdot\log_65\cdot\log_76\cdot\frac{1}{\log_72}\cdot\frac{1}{\log_23}\cdot\log_{10}3$

$\log_52\cdot\frac{1}{\log_56}\cdot\frac{\log_76}{\log_72}\cdot\log_32\cdot\frac{1}{\log_310}$

$\frac{\log_52}{\log_56}\cdot\frac{\log_76}{\log_72}\cdot\frac{\log_32}{\log_310}$

$\log_62\cdot\log_26\cdot\log_{10}2$

$\log_62\cdot\frac{1}{\log_62}\cdot\log_{10}2$

$\log_{10}2=\log2$