Question

O valor da expressão abaixo é: 

i^31 + i^108 - i^64 + i^431 i^-795+ i^365

a) i

b) - 1

c) 1 - 2i

d) 1 + 2i

e) - 1 + 2i​

Answer 1

❑  Em uma potência de números complexos devemos lembrar que eles só respondem a 4 valores que são: 0, 1, i e -i, partindo dessa lógica para encontrar valores com uma alta potência, você deve pegar esse número e dividi-lo por 4, o resto dessa divisão será o valor que você deverá de fato trabalhar.

• Fazendo isso:

$31 \div 4 = resto \: (3) \\ 108 \div 4 = resto \: (0) \\ 64 \div 4 = resto \: (0) \\ 431 \div 4 \: = resto \: (3) \\ 795 \div 4 = resto \: (3) \\ 365 \div 4 = resto \: (1)$

Tendo feito isso, você reorganiza a expressão:

$i {}^{3} + i {}^{0} - i {}^{0} + i {}^{3} (sem \: sinal)i {}^{-3} + i {}^{1 }$

Naquela parte sem sinal, digamos que seja uma multiplicação, então:

$i {}^{3} + i {}^{0} - i {}^{0} + i {}^{3}\times i {}^{-3} + i {}^{1 }\\ i + 1 - 1 + i^{3-3} + i \\ i + i^{0} + i \\ i + 1 + i \\ 1 + 2i$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Observação: Está faltando o sinal de i⁻⁷⁹⁵, será considerado positivo.

i³¹ + i¹⁰⁸ − i⁶⁴ + i⁴³¹ + i⁻⁷⁹⁵ + i³⁶⁵ =

Sabemos que:

1² = −1

i³ = 1² • i = −1 • i = −i

i⁴ = 1² • 1² = (−1) • (−1) = 1

i⁵ = i⁴ • i = 1 • i = i

i⁶ = i⁵ • i = i • i = i² = −1  e o processo se repete.

Pela tabela acima vimos que i elevado a qualquer expoente múltiplo de 4 será igual a 1, pois:

i⁴ • i⁴ = 1 • 1 = 1

Calculo de i³¹:

$i^{31} = i^{(28+3)} = i^{(7 \times 4+3)} = i^{(7 \times 4)} \cdot i^{(3)}$

Portanto 1³¹ = i³ = −i

de forma análoga:

108 ÷ 4 = 27 e sobra 0.

64 ÷ 4 = 16 e sobra 0.

431 ÷ 4 = 107 e sobra 3.

795 ÷ 4 = 198 e sobra 3.

365 ÷ 4 = 91 e sobra 1.

Portanto:

i³¹ + i¹⁰⁸ − i⁶⁴ + i⁴³¹ + i⁻⁷⁹⁵ + i³⁶⁵ = i³ + i⁰ − i⁰ + i³ + i⁻³ + i¹ =

−i + 1 − 1 − i  − i⁻¹ + i =

−i − i  − i⁻¹ + i =

− i  − i⁻¹ =

$-i - \frac{1}{i} =$

Multiplique numerador e denominador do segundo termo pelo conjugado do denominador.

$-i -\frac{(-i)}{1} = -i + i = 0$

Resposta: O valor da expressão é 0.

Não há alternativa correta.