Question

O valor da expressão 1/1v2+1/v2+v3+1/v3+2+...+1/v99+10 è:
A)-10
B)-9
C)1/9
D)9
E)10

Answer 1

Resposta:

d) 9

Explicação passo-a-passo:

Você só precisa racionalizar cada uma das frações, e a resposta irá "magicamente" aparecer. O que está escrito a lápis já estava no caminho certo.

Observe que

$\dfrac{1}{1 + \sqrt 2} = \dfrac{1 (\sqrt 2 - 1)}{(1 + \sqrt 2 )( \sqrt 2-1)} = \dfrac{\sqrt 2 - 1}{1} = \sqrt 2 -1$

Da mesma forma temos:

$\dfrac{1}{ \sqrt 2 +\sqrt 3} = \dfrac{1 (\sqrt 3 - \sqrt 2)}{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )( \sqrt 3-\sqrt 2)} = \dfrac{\sqrt 3 - \sqrt 2}{1} = \sqrt 3 -\sqrt 2$

E também

$\dfrac{1}{ \sqrt 3 +\sqrt 4} = \dfrac{1 (\sqrt 4 - \sqrt 3)}{(\sqrt 3 + \sqrt 4 )( \sqrt 4-\sqrt 3)} = \dfrac{\sqrt 4 - \sqrt 3}{1} = \sqrt 4 -\sqrt 3$

De maneira geral:

$\dfrac{1}{ \sqrt n +\sqrt {n+1}} = \dfrac{ (\sqrt {n+1} - \sqrt n)}{(\sqrt n + \sqrt {n+1} )( \sqrt {n+1}-\sqrt n)} = \sqrt {n+1} -\sqrt n$

Assim, a soma que você quer calcular é o mesmo que:

$\dfrac{1}{1 + \sqrt 2} + \dfrac{1}{\sqrt 2 + \sqrt 3} + \dfrac{1}{\sqrt 3 + \sqrt 4} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt {99} + \sqrt {100}} = \\[2ex]\\(-1 + \sqrt 2) + ( - \sqrt 2 + \sqrt 3) + ( - \sqrt 3 - \sqrt 4) + \cdots + (- \sqrt {99} + \sqrt{100})$

Observe que o raiz de 2 corta com o menos raiz de 2. E o mesmo acontece com o raiz de 3, até o raiz de 99. Daí sobra apenas o -1 e o raiz de 100. Portanto a resposta é

-1 + 10 = 9