Question

O valor da área pintada, em razão de x, é:

Answer 1

Resposta:

• O valor da área pintada é   $\dfrac{5x^2}{3}$

Conceitos requisitados:

   - Área de trapézio;

   - Semelhança de triângulos;

Sugestão: acompanhar o desenvolvimento com as imagens anexadas ao final da resposta.

Desenvolvimento:

   O primeiro passo é perceber que trata-se de dois quadrados de mesmo lado. Além disso, há um triângulo isósceles no topo, que é metade do quadrado formado pelas diagonais dos quadrados menores. Lembre-se que  a diagonal de um quadrado é lado · √2, ou seja, os dois lados iguais do triângulo do topo medem x√2 (a medida da diagonal de cada quadrado de lado x). Essa informação será utilizada mais tarde.

(Acompanhe a primeira imagem anexa para uma melhor compreensão)

   O próximo passo é traçar uma linha (verde na imagem) atravessando horizontalmente ambos os quadrados menores, na altura x/2. Isso dividirá os dois pela metade em relação ao eixo vertical. Vale notar que haverá um encontro entre essa nova linha e a diagonal do retângulo (junção dos dois quadrados) bem onde os quadrados se tocam. Nesse ponto encontram-se 3 semirretas: a diagonal do retângulo, a linha que divide-o horizontalmente em 2 e a linha que marca o encontro dos dois quadrados de lado x.

   Na imagem, o lado de um dos quadrados (x) foi marcado por uma linha amarela, e uma outra linha (azul) sinaliza uma parte que vale x/2. Essa parte foi obtida através do corte realizado na etapa anterior (linha verde).

(Acompanhe a segunda imagem anexa para uma melhor compreensão)

    Se você observar, há dois triângulos formados. As bases de cada um são as linhas amarelas e azuis obtidas na etapa anterior, e demais lados são parte das diagonais (a diagonal do quadrado de lado x e parte da diagonal do retângulo). É possível estabelecer uma relação entre essas bases e os demais lados de cada triângulo, pois os dois são semelhantes (observe a sinalização dos ângulos na imagem).

   O próximo passo é usar isso para relacionar as linhas verde e roxa, como na imagem. Com isso, sabemos que a linha verde é o dobro da linha roxa, mas também sabemos que a soma dessas duas é a diagonal do quadrado.

$Diagonal = lado~.~\sqrt[]{2}\\\\Verde+Roxo = x\sqrt{2}\\\\Verde + \dfrac{Verde}{2} = x\sqrt{2}\\\\\dfrac{3~.~Verde}{2} = x\sqrt{2}\\\\\boxed{Verde = \dfrac{2x\sqrt{2}}{3}}$

   Descobrindo o valor da linha verde, é possível achar o valor da área pintada. Isso porque essa área representa um trapézio, cuja área se dá pela fórmula:

$A_{trapezio} = \dfrac{(B + b) . h}{2}$

Onde:

   - B = base maior;

   - b = base menor;

   - h = altura do trapézio

(Acompanhe a terceira imagem anexa para uma melhor compreensão)

   Como consta na imagem, a linha verde representa a base menor do trapézio, enquanto a base maior e a altura são aquelas medidas que descobrimos no início da resolução e que seriam usadas mais tarde.

Passo final: substituir esses valores na fórmula anterior e realizar os cálculos.

$\dfrac{(x\sqrt{2} + \dfrac{2x\sqrt{2}}{3})~.~x\sqrt{2}}{2} =\\\\\\\dfrac{\dfrac{5x\sqrt{2}}{3}~.~x\sqrt{2}}{2}=\\\\\\\dfrac{5x\sqrt{2}~.~x\sqrt{2}}{3~.~2}=\\\\\\\dfrac{5x^2(\sqrt{2})^2}{6}=\\\\\\\dfrac{5x^2~.~2}{6} = \boxed{\dfrac{5x^2}{3}}$