Question

O valor da área da região limitada pelas retas y = 0, x = -1, x = 3 e pela curva y = x2 + 1 é: Alternativas: a) 10,00 u.a. b) 11,11 u.a. c) 12,22 u.a. d) 13,33 u.a. e) 14,44 u.a.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d)~13.33~u.a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para calcularmos a área entre estas funções, utilizaremos propriedades das integrais duplas.

Veja que nossa área está limitada pelas retas $y=0$, $x=-1$, $x=3$ e $y=x^2+1$.

Neste caso, teremos a seguinte integral dupla:

$\displaystyle{\int\int_D\,dA$, tal que a região $D$ está limitada aos intervalos:

$-1\leq x\leq 3$ e $0\leq y\leq x^2+1$.

De acordo com o Teorema de Fubini para integrais iteradas, devemos respeitar uma ordem de integração. Dessa forma, integramos primeiro em respeito à variável que está limitada a duas funções e por último a variável que está limitada a dois números.

Isto significa que $dA=dy\,dx$. Substituindo os limites de integração em $D$, temos:

$\displaystyle{\int_{-1}^3\int_0^{x^2+1}\,dy\,dx$

Para calcularmos a primeira integral, lembre-se que $y^0=1$ e utilize a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

$\displaystyle{\int_{-1}^3\dfrac{y^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^{x^2+1}\,dx$

Some os valores

$\displaystyle{\int_{-1}^3y~\biggr|_0^{x^2+1}\,dx$

Sabendo que de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$, temos:

$\displaystyle{\int_{-1}^3x^2+1-0\,dx$

Some os termos

$\displaystyle{\int_{-1}^3x^2+1\,dx$

Então, para integrarmos esta função, lembre-se que a integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx \pm\int g(x)\,dx$. Teremos:

$\displaystyle{\int_{-1}^3x^2\,dx+\int_{-1}^31\,dx$

Aplique a regra da potência em ambos os casos

$\displaystyle{\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_{-1}^3+\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^3$

Some os valores

$\displaystyle{\dfrac{x^{3}}{3}~\biggr|_{-1}^3+x~\biggr|_{-1}^3$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\dfrac{3^{3}}{3}+3-\left(\dfrac{(-1)^3}{3}-1\right)$

Calcule as potências

$\displaystyle{9+3-\left(-\dfrac{1}{3}-1\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{9+3+\dfrac{1}{3}+1$

Some as frações

$\dfrac{39}{3}$

Ao calcularmos um valor aproximado para esta fração, temos por fim:

$\bold{13.333~u.a}$

Esta é a área da região limitadas por estas funções e é a resposta contida na letra d).

Observe o gráfico em anexo: as funções foram esboçadas no gráfico e a área entre elas está em destaque na coloração verde.

Answer 2

Resposta: d) 13,33

Explicação passo a passo:

ava