Question

O valor aproximado do limite é$\lim_{x \to 0 /Y \to 0} \frac{ \sqrt{x+3- \sqrt{3} } }{xy+x}$

segue o nexo da questão

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o limite quando (x; y) tendem pra zero na seguinte expressão:

lim [√(x+3) - √(3)]/(xy+x)
(x;y)-->0

Veja: se você for substituir o "x" e o "y" por zero diretamente, vamos encontrar algo do tipo "0/0" e isso é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação.
Então vamos fazer o seguinte: multiplicaremos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que vai ser "√(x+3) + √(3)" . Assim, fazendo isso, teremos:

lim [√(x+3)-√(3)]*[√(x+3)+√(3)]/[xy+x]*[√(x+3)+√(3)] --- desenvolvendo, temos:
(x;y)-->0

lim [x+3 - 3]/[xy√(x+3)+xy√(3)+x√(x+3)+x√(3)]
(x; y)-->0

lim [ x ]/[xy√(x+3)+xy√(3)+x√(x+3)+x√(3)]
(x; y)-->0

Veja: no denominador, vamos colocar "x" em evidência, com o que ficaremos assim:

lim [ x ]/x*[y√(x+3)+y√(3)+√(x+3)+√(3)]
(x; y)-->0

Dividindo-se "x" do numerador com "x" do denominador, iremos ficar apenas com:

lim [ 1 ]/[y√(x+3)+y√(3)+√(x+3)+√(3)]
(x; y)-->0 

Agora veja que já poderemos substituir tanto o "x" como o "y" por "0" e não vamos mais encontrar nenhuma indeterminação. Então, fazendo isso, teremos:

1/[0*√(0+3)+0*√(3) + √(0+3)+√(3)] = 1/[0+0+√(3)+√(3)] =

= 1/[√(3)+√(3) = 1/2√(3) <--- A resposta até que poderia ficar desta forma.

Porém, como há radical no denominador, então vamos racionalizar. E, para isso, basta que multipliquemos numerador e denominador por √(3). Assim, ficaremos:

= 1*√(3)/2√(3)*√(3)
= √(3)/2√(3*3)
= √(3)/2√(9) --------- como √(9) = 3, teremos;
= √(3)/2*3
= √(3)/6 <--- pronto. Esta é a resposta, após racionalizarmos o resultado anterior. Então este é o resultado do limite pedido.

Contudo, o João informou nos comentários que a questão tem opções (ele apenas esqueceu de discriminá-las). Nas opções, segundo o João, são dados os resultados aproximados. E considerando que √(3)/6 ´é igual a "0,2887", o que poderá ser arredondado para "0,3", então a resposta aproximada será:

0,3 <---- Esta é a resposta aproximada. Opção "d".

Observação: é de suma IMPORTÂNCIA que as opções sempre sejam dadas, pois são elas que "guiam" as respostas dos "respondedores". Se o João tivesse fornecido as opções,então é claro que teríamos ido diretamente para o"0,3", que é o resultado aproximado do limite pedido. Como ele esqueceu de discriminar as opções, não sabíamos que havia algo "aproximado" como resposta. Mas como agora ele as colocou, então o resultado aproximado do limite pedido é "0,3", como visto aí em cima. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.