Question

O valor absoluto de um numero real ou módulo de um numero real, indicado por |x|, é definido por
|x| = $x, x \geq 0 -x, x \leq 0$
Assim descrevendo-se pelas sentenças, a função f(x) = |x - 5| + |x - 7|, obtem-se

Answer 1

Pela definição de módulo de um número real, temos que

$|x-5|=\left\{ \begin{array}{ll} x-5,&\text{se }x\geq 5\\ 5-x,&\text{se }x<5 \end{array} \right.\\ \\ \\ |x-7|=\left\{ \begin{array}{ll} x-7,&\text{se }x\geq 7\\ 7-x,&\text{se }x<7 \end{array} \right.$


Como pretendemos somar os dois módulos acima, vamos reescrever as expressões, de forma que a mudança de sentença ocorra nos mesmos intervalos:

$|x-5|=\left\{ \begin{array}{ll} x-5,&\text{se }\;5\leq x< 7\;\text{ ou }\;x\geq 7 \\ 5-x,&\text{se }\;x<5 \end{array} \right.\\ \\ \\ |x-7|=\left\{ \begin{array}{ll} x-7,&\text{se }\;x\geq 7\\ 7-x,&\text{se }\;x<5\;\text{ ou }\;5\leq x<7 \end{array} \right.$


Somando as sentenças, temos

$|x-5|+|x-7|=\left\{ \begin{array}{ll} (5-x)+(7-x),&\text{se }\;x<5\\ \\ (x-5)+(7-x),&\text{se }\;5\leq x<7\\ \\ (x-5)+(x-7),&\text{se }\;x\geq 7 \end{array}\right.\\ \\ \\ \\ |x-5|+|x-7|=\left\{ \begin{array}{ll} 12-2x,&\text{se }\;x<5\\ \\ 2,&\text{se }\;5\leq x<7\\ \\ 2x-12,&\text{se }\;x\geq 7 \end{array}\right.\\ \\ \\ \\ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 12-2x,&\text{se }\;x<5\\ \\ 2,&\text{se }\;5\leq x<7\\ \\ 2x-12,&\text{se }\;x\geq 7 \end{array}\right.$