Question

O valor 2A² + 4B² quando A = [2 0] e B = [0 -1] é igual a: [0 -2] [1 0]

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{b)~\begin{bmatrix}4&0\\0&4\\\end{bmatrix}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Queremos calcularmos o valor da expressão $2A^2 + 4B^2$, na qual A e B são matrizes dadas por:

$A=\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}~~e~~ B=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}$  

Devemos relembrar algumas propriedades sobre multiplicação de matrizes. Quando queremos encontrar o produto entre duas matrizes de mesma ordem, sabemos que o resultado será outra matriz dessa ordem, ou seja, em ambos os casos, teremos matrizes de ordem 2.

Isto é importante, pois as operações básicas (adição e subtração) só podem ocorrer quando as matrizes têm a mesma quantidade de linhas e colunas.

Para multiplicarmos duas matrizes, devemos calcular o produto dos termos respectivos em cada linha e cada coluna e somar os valores. Ou seja:

$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}\cdot a_{11}+a_{12}\cdot a_{21}&a_{11}\cdot a_{12}+ a_{12}\cdot a_{22}\\ a_{21}\cdot a_{11}+a_{22}\cdot a_{21}&a_{21}\cdot a_{12}+a_{22}\cdot a_{22}\\\end{bmatrix}$

Apliquemos estas propriedades para encontrarmos o valor de A² e B²

Em A, ficamos com

$A^2=\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cdot 2+0\cdot0& 2\cdot 0+ 0\cdot (-2)\\ 0\cdot 2+(-2)\cdot 0&0\cdot 0+(-2)\cdot (-2)\\\end{bmatrix}$

Multiplique e some os valores

$A^2=\begin{bmatrix}4&0\\0&4\\\end{bmatrix}$

Em B, ficamos com

$B^2=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\cdot 0+(-1)\cdot1& 0\cdot (-1)+ (-1)\cdot0\\ 1\cdot 0+0\cdot 1&1\cdot (-1)+0\cdot 0\\\end{bmatrix}$

Multiplique e some os valores

$B^2=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}$

Por fim, lembre-se que ao multiplicarmos uma constante por uma matriz, o resultado será uma matriz de mesma ordem com todos os seus elementos multiplicados por ela. Ou seja:

$k\cdot \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}\\k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}\\\end{bmatrix}$

Então a expressão $2A^2 + 4B^2$  ficará

$2A^2+4B^2=2\cdot\begin{bmatrix}4&0\\0&4\\\end{bmatrix}+4\cdot\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}$

Aplique a propriedade comentada acima para a multiplicação

$2A^2+4B^2=\begin{bmatrix}8&0\\0&8\\\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-4&0\\0&-4\\\end{bmatrix}$

Some as matrizes

$2A^2+4B^2=\begin{bmatrix}4&0\\0&4\\\end{bmatrix}$

Este é o resultado da expressão e é a resposta contida na letra b).