O uso de superfícies esféricas e cilíndricas é extremamente comum em aplicações práticas envolvendo superfícies. Nos dimensionamentos de tubulações, reforma ou compra de tanques de armazenamento e otimizações industriais, o mais comum é se encontrar estes tipos de formas. Sobre superfícies cilíndricas e cônicas afirma-se:
I) y² = z² - x² é a representação algébrica de uma superfície cilíndrica voltada para o eixo “y”.
II) y² - z² = x² é a representação algébrica de uma superfície cônica voltada para o eixo “y”.
III) A equação y = x² representa, em três dimensões, uma superfície cilíndrica conhecida como hiperboloide, pois equivale a representação de uma hipérbole em 3D.
IV) A equação x² + y² = 4 representa, em três dimensões, uma superfície cilíndrica que equivale à representação de uma circunferência de raio 2 unidades em 3D.
Estão corretas:
g4biferrariotxm87:
Apenas II e IV.
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Superfície Cilíndrica:
Podemos representar um cilindro num sistema cartesiano de acordo com a seguinte equação:
x²+y² = r²
Por exemplo, a equação x²+y² = 1 representa um cilindro de base circular no plano xy, raio 1 e seu eixo coincide com o eixo Z.
Assim, quando temos uma equação do tipo x²+y² = z², onde z²=r² (raio da circunferência da base do cilíndro).
Superfície Cônica
Pode ser definida pela seguinte equação:
x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0,
onde o termo com o sinal negativo indica o eixo do cone. Neste caso, o cone está orientado no eixo z.
Para o eixo x: - x²/a² + y²/b² + z²/c² = 0
Para o eixo y: x²/a² - y²/b² + z²/c² = 0
Vamos analisar as alternativas:
I) y² = z² - x² pode ser rescrita como x²+y=z², indicando que encontra-se voltada para o eixo Z, com a base circular no plano x,y. Portanto a afirmativa é FALSA.
II) y² - z² = x² pode ser reescrita como x²/1² - y²/1² + z²/1² = 0, que é a equação de uma superfície cônica voltada para o eixo “y” (VERDADEIRA).
III) A equação de uma hiperbolóide é igual a da supefície cônica, porém igualada a 1. Portanto não é possível reescrever a equação y = x² , pois ela não apresenta a componente tridimensional Z, sendo a equação de uma hipérbole no eixo xy (FALSA).
IV) A equação x² + y² = 4 pode ser reescrita como x² + y² = r², onde r = 2. Assim, representa uma superfície cilindrica voltada para Z de raio 2 (VERDADEIRA).
Podemos representar um cilindro num sistema cartesiano de acordo com a seguinte equação:
x²+y² = r²
Por exemplo, a equação x²+y² = 1 representa um cilindro de base circular no plano xy, raio 1 e seu eixo coincide com o eixo Z.
Assim, quando temos uma equação do tipo x²+y² = z², onde z²=r² (raio da circunferência da base do cilíndro).
Superfície Cônica
Pode ser definida pela seguinte equação:
x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0,
onde o termo com o sinal negativo indica o eixo do cone. Neste caso, o cone está orientado no eixo z.
Para o eixo x: - x²/a² + y²/b² + z²/c² = 0
Para o eixo y: x²/a² - y²/b² + z²/c² = 0
Vamos analisar as alternativas:
I) y² = z² - x² pode ser rescrita como x²+y=z², indicando que encontra-se voltada para o eixo Z, com a base circular no plano x,y. Portanto a afirmativa é FALSA.
II) y² - z² = x² pode ser reescrita como x²/1² - y²/1² + z²/1² = 0, que é a equação de uma superfície cônica voltada para o eixo “y” (VERDADEIRA).
III) A equação de uma hiperbolóide é igual a da supefície cônica, porém igualada a 1. Portanto não é possível reescrever a equação y = x² , pois ela não apresenta a componente tridimensional Z, sendo a equação de uma hipérbole no eixo xy (FALSA).
IV) A equação x² + y² = 4 pode ser reescrita como x² + y² = r², onde r = 2. Assim, representa uma superfície cilindrica voltada para Z de raio 2 (VERDADEIRA).
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