Question

o unico valor de x que verifica a equacao (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é?

Answer 1

X-2+x-5+x-8+x+x-47=424
X+x+x+x+x=424+2+5+8+47
5x=486
X=486/5
X=97,2

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Jomaximo, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Tem-se a seguinte sequência:

(x-2) + (x-5) + (x-8) + ..... + (x-47) = 424.

Pede-se o único valor de "x" que verifica a sequência acima.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que a sequência vai ter tantos termos quantos forem os termos existentes a partir de "-2" até o "-47". E note que, considerando dessa forma, iremos ter uma sequência da forma: -2; -5; -8; ..... -47, que é de uma PA, cuja razão é igual a "-3", pois: 8-(-5) = -5-(-2) = - 3
Então vamos calcular quantos termos haveria na sequência acima. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:

an = a₁+ (n-1)*r

Substituindo-se, na fórmula acima, "an" por "-47"; substituindo-se "a₁" por "-2" e "r" por "-3", teremos:

- 47 = - 2 + (n-1)*(-3) ----- desenvolvendo, teremos;
- 47 = - 2 - 3n + 3 ----- ordenando temos:
- 47 = - 3n + 3 - 2
- 47 = - 3n + 1 ---- passando-se "1" para o 1º membro, temos:
- 47 - 1 = - 3n
- 48 = - 3n ---- multiplicando-se tudo por "-1", ficaremos:
48 = 3n --- ou, invertendo-se:
3n = 48
n = 48/3
n = 16 <--- Este será o número de termos da sequência da sua questão.

ii) Logo, a sequência dada, que é esta: (x-2)+(x-5)+(x-8)+.....+(x-47) = 424, terá 16 termos, sendo o primeiro termo (x-2) e o último termo (x-47).
E, para isso, utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma PA e que é esta:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Substituindo-se "Sn" por "424"; substituindo-se "a₁" por (x-2) e substituindo-se "an" por (x-47); e finalmente, substituindo-se "n" por "16, teremos:

424 = [(x-2) + (x-47)]*16/2  ---- retirando-se os parênteses, teremos;
424 = [x-2 + x - 47]*16/2
424 = (2x - 49)*16/2 ---- como 16/2 = 8, teremos:
424 = (2x - 49)*8 ---- efetuando este produto, teremos:
424 = 8*2x - 8*49
424 = 16x - 392 ---- passando-se "-392" para o 1º membro, teremos:
424 + 392 = 16x
816 = 16x ---- vamos apenas inverter, ficando:
16x = 816
x = 816/16
x = 51 <--- Pronto. Esta é a resposta. Este deverá ser o único valor de "x" que verifica a expressão originalmente dada.

Bem, a resposta já está dada. Vamos ver, nesse caso, qual seria a sequência, considerando que o "x" será igual a "51":

(51-2) + (51-5) + (51-8) + ...... + (51-47) = 424 ---- assim, considerando que a razão é igual a "-3", então todos os termos da sequência seriam estes:
 
(49) + (46) + (43) + (40) + (37) + (34) + (31) + (28) + (25) + (22) + (19) + (16) + (13) + (10) + (7) + (4) = 424

Nota: se você somar todos esses termos vai notar que a resposta será, exatamente igual a 424, pois, utilizando-se a fórmula da soma dos termos de uma PA teremos isto:

424 = (49+4)*16/2
424 = (53)*8
424 = 424 <-- Olha aí como é verdade.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.