O trinômio do segundo grau y = (2m+1)x² + 4mx + m, em que m é um número real, é sempre positivo, se e somente se:
a) m > 1/2
b) 0 < m < 1/2
c) m < 1/2
d) - 1/2 < m < 0
R. B
Soluções para a tarefa
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32
Vamos lá.
Pede-se para determinar o valor de "m" (m ∈ R) para que a expressão abaixo seja SEMPRE positiva:
y = (2m+1)x² + 4mx + m
Veja: para que uma equação do 2º grau, da forma y = ax² + bx + c, seja SEMPRE positiva, então o delta (b²-4ac) deverá ser MENOR do que zero. Assim, vamos impor que o delta (b²-4ac) da função dada seja menor do que zero (note que o delta da expressão dada é este: (4m)² - 4*(2m+1)*m . Logo:
(4m)² - 4*(2m+1)*m < 0 ----- desenvolvendo, teremos:
16m² - (8m+4)*m < 0 --- continuando o desenvolvimento, teremos:
16m² - 8m²-4m < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
8m² - 4m < 0 ---- para facilitar, dividiremos ambos os membros por "4", com o que ficaremos assim:
2m² - m < 0
Note que as raízes da função acima serão estas (para encontrar as raízes igualaremos a expressão a zero):
2m² - m = 0 ----- colocando-se "m" em evidência, ficaremos com:
m*(2m - 1) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:
ou
m = 0 ---> m' = 0
ou
2m - 1 = 0 ---> 2m = 1 ---> m'' = 1/2.
Agora vamos analisar a variação de sinais da inequação 2m² - m < 0 em função de suas raízes. Assim:
2m² - m < 0 ... + + + + + + + + (0)- - - - - - - - - (1/2)+ + + + + + + +
Como queremos que a inequação "2m² - m < 0", ou seja, como queremos que a inequação dada seja negativa, então só nos interessa onde tiver sinal de menos no gráfico acima. Assim:
0 < m < 1/2 ----- Esta é a resposta. Opção "b". Ou seja, "m" deverá estar no intervalo entre "0" e "1/2" para que a função y = (2m+1)x² + 4mx + m seja SEMPRE positiva.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Pede-se para determinar o valor de "m" (m ∈ R) para que a expressão abaixo seja SEMPRE positiva:
y = (2m+1)x² + 4mx + m
Veja: para que uma equação do 2º grau, da forma y = ax² + bx + c, seja SEMPRE positiva, então o delta (b²-4ac) deverá ser MENOR do que zero. Assim, vamos impor que o delta (b²-4ac) da função dada seja menor do que zero (note que o delta da expressão dada é este: (4m)² - 4*(2m+1)*m . Logo:
(4m)² - 4*(2m+1)*m < 0 ----- desenvolvendo, teremos:
16m² - (8m+4)*m < 0 --- continuando o desenvolvimento, teremos:
16m² - 8m²-4m < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
8m² - 4m < 0 ---- para facilitar, dividiremos ambos os membros por "4", com o que ficaremos assim:
2m² - m < 0
Note que as raízes da função acima serão estas (para encontrar as raízes igualaremos a expressão a zero):
2m² - m = 0 ----- colocando-se "m" em evidência, ficaremos com:
m*(2m - 1) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:
ou
m = 0 ---> m' = 0
ou
2m - 1 = 0 ---> 2m = 1 ---> m'' = 1/2.
Agora vamos analisar a variação de sinais da inequação 2m² - m < 0 em função de suas raízes. Assim:
2m² - m < 0 ... + + + + + + + + (0)- - - - - - - - - (1/2)+ + + + + + + +
Como queremos que a inequação "2m² - m < 0", ou seja, como queremos que a inequação dada seja negativa, então só nos interessa onde tiver sinal de menos no gráfico acima. Assim:
0 < m < 1/2 ----- Esta é a resposta. Opção "b". Ou seja, "m" deverá estar no intervalo entre "0" e "1/2" para que a função y = (2m+1)x² + 4mx + m seja SEMPRE positiva.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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