Question

O triângulo PQR da figura é isósceles de base PQ. Se o ponto T pertence à reta suporte de RQ, calcule o valor do cosseno do ângulo PRT  PQ = 4cm e RQ = 6cm

Answer 1

Se o triângulo é isósceles, seus lados são iguais e, se PQ é a base e mede 4 cm, os lados são RP = RQ = 6 cm
Se o ponto T pertence à reta suporte de RQ, o ângulo PRT é o próprio ângulo PRQ.
Assim, basta calcular o cosseno do ângulo PRQ.
Para isto, vamos traçar a partir do vértice R uma perpendicular à base PQ, determinando sobre ela o ponto H. O segmento RH assim obtido é a altura do triângulo isósceles PRQ, e, também, cateto dos dois triângulos retângulos formados ao traçarmos a altura RH: triângulo RPH e triângulo RQH, ambos retângulos em H e congruentes, pois seus catetos menores medem 2 cm (a metade da base PQ) e a suas hipotenusas medem, cada uma, 6 cm, uma vez que RQ = RP. Este segmento RH também é a bissetriz do ângulo PRQ, pois o dividiu em dois ângulos iguais: PRH = QRH (1)
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos o valor da altura RH, pois "o quadrado da hipotenusa, menos o quadrado de um dos catetos é igual ao quadrado do outro cateto", ou RH² = RQ² - QH², no triangulo RQH: RH² = 6² - 2² = 36 - 4 = 32 e
RH = √32 = 5,65 cm.
O cosseno do ângulo PRQ é igual ao cosseno do ângulo PRH mais o cosseno do ângulo QRH, que são iguais entre si (1) e medem a metade do ângulo PRQ.
Como num triângulo retângulo o cosseno de um ângulo é igual à razão (divisão) entre o cateto adjacente e a hipotenusa, o cosseno do ângulo PRH = cosseno do ângulo QRH = 5,65/6 = 0,94 e, assim, o cosseno do ângulo PRQ = cosseno do ângulo PRT = 2 x 0,94 = 1,88

Answer 2

Resposta:

A  resposta e - 7/9

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, e importante lembrar da propriedade dos angulos externos. Em que: PRT = QPR + RQP. Para facilitar: 2x = x + x

Agora, para obter um triangulo retangulo, vamos traçar a altura de R. Ficaremos com um triangulo de lados: 2 (a altura divide 4 em dois trechos iguais), 6 e h.

Para obter a altura, fazemos:

$A^{2} = B^{2} + C^{2}\\36 = 4 + h^{2} \\h^{2} = 32\\h = 4\sqrt{2}$

Com isso, conseguimos obter o seno e o cosseno de x:

$sen x = \frac{CO}{hip} \\ sen x = \frac{4\sqrt{2} }{6}\\sen x = \frac{2\sqrt{2} }{3}$

$cos x = \frac{CA}{hip}\\cos x = \frac{2}{6}\\cos x = \frac{1}{3}$

Agora, e so substituir na formula de cos (2x)

$cos(2x) = cos^{2}x - sen^{2}x \\cos(2x) = \frac{1}{9} - \frac{8}{9} \\cos(2x) = -\frac{7}{9}$