Question

O triângulo equilátero ABC na figura está inscrito em uma circunferência de centro O e raio 2√3m.
Qual é a área da parte sombreada dessa figura? (Use $\sqrt{3} = 1.7$ e $\pi = 3.1$)
a)$3.3 {m}^{2}$
b)$6.6 {m}^{2}$
c)$7.3 {m}^{2}$
d)$8.4 {m}^{2}$
e)$16.9 {m}^{2}$

Answer 1

Observe a figura
A área do círculo, menos a área do triangulo, vai dar a área total fora do triangulo que está dentro do círculo. Ela é formada por 3 áreas. Se dividirmos essa área por 3, teremos a área de um dos lóbulos.

Portanto, temos que calcular a área do círculo = pi*r² = 3,1415 * (2√3)² =
3,1415 * 4 * 3  =  37,69911

Bom, agora falta calcular a área do triangulo.

Imagine agora um triangulo isósceles cujos vértices são O, B e C .. 
O angulo O tem 120° . Porque ? Porque se traçarmos uma linha entre cada vértice do triangulo e o centro, teremos 3 angulos iguais, portanto 360 dividido por 3 = 120.

Então temos um triangulo cujo angulo oposto ao lado BC mede 120

Segundo a lei dos cosenos  temos que
BC² = BO² + CO² - 2.BO.CO.coseno(O)

acontece que BO = CO e
sabemos que BO² = CO² = raio = 12 
o coseno(120°) = -0,5
então temos
BC² = 12 + 12 -2.BO².(-0,5) 
BC² = 12 + 12 - 2*12*(-0,5)
BC² = 12 + 12 + 12 = 36
BC² =36
BC = 6

portanto, temos agora como calcular a área do triangulo

a área do triangulo = base x altura / 2 
a base do meio triangulo seria 3. Qual seria a altura ? 
Observe, o triangulo seria formado pela metade de 6 = 3 e uma hipotenusa igual a 2√3

Pelo teorema de pitágoras temos que
h² = base² + altura²
ou ..
h² - base² = altura²
h sabemos que é 2√3
base sabemos que é metade do lado BC que calculamos = 6, portanto a base = 3
então
(2√3)² - 3² = altura²
12 - 9 = altura²
altura = √3

portanto a área do triangulo = 3 * √3 / 2 ... só que essa é a área de meio triangulo portanto, a área do triangulo inteiro vai ser 3 √3

Ok, subtraindo a área do triangulo da área do círculo temos 

37,69911 - ( 3 * √3)  =  37,69911-  5,196152 =  32,50296

Isso dividido por 3 dá  10,83432
= 

Answer 2

Utilizando as fórmulas da área de uma circunferência e de um triângulo, concluímos que, a área da região sombreada é 7,3 centímetros quadrados, alternativa c.

Qual a área da região sombreada?

Observe que, como o triângulo ABC é equilátero, temos que, o ângulo central será dividido em três ângulos congruentes, ou seja:

AOC = AOB = BOC = 120 graus

Temos que, a área sombreada é igual a área do setor circular BOC subtraída da área do triângulo BOC. Como o ângulo BOC mede 120 graus, podemos afirmar que, a área do setor BOC é:

$r^2 \pi / 3 = (2 \sqrt{3})^2 * 3,1 / 3 = 4*3,1 = 12,4 \; m^2$

A área do triângulo pode ser calculada utilizando as medidas dos lados OB e OC e o seno do ângulo BOC, portanto:

$\dfrac{(2 \sqrt{3})*(2* \sqrt{3}) \sqrt{3}/2}{2} = 3 \sqrt{3} = 3*1,7 = 5,1 \; m^2$

Calculando a diferença entre os resultados encontrados, concluímos que, a área sombreada é:

12,4 - 5,1 = 7,3 centímetros quadrados

Para mais informações sobre área, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/47756351

#SPJ2