Question

O triângulo da figura a seguir é um triângulo isósceles de lado de 10 cm e, portanto, de área 25√3cm ao quadrado
. Se E, F e G são pontos médios dos lados desse triângulo, então a altura do trapézio isósceles é Opções (A) 10√2. (B) 5/2√3. (C) 10√3. (D) 5/2√3. (E) 5/3√3.

Answer 1

Olá,

Considere o triângulo ABC da imagem anexa. Sabendo que ele é isósceles, tem-se que AB = BC = 10 cm.

Sabendo que E, F e G são pontos médios dos lados do triângulo (dividem a medida dos lados por 2), tem-se que AG = GB = BE = EC = 5 cm.

Esses pontos formam o trapézio isósceles AGEC o qual devemos calcular a altura HF.

Para isso, considere:

A área de um triângulo é dada por

$A=\frac{base.altura}{2}$

Nesse triângulo ABC, tem-se que a área é $25\sqrt{3} cm^{2}$, assim,

$25\sqrt{3}=\frac{AC.BF}{2}$

$50\sqrt{3}=AC.BF$

$\frac{50\sqrt{3}}{BF}=AC$

$AC= \frac{50\sqrt{3}}{BF}$

Como ABC é isósceles, tem-se que a altura BF também é mediana, ou seja, divide a base AC ao meio. Assim

$AF = FC = \frac{AC}{2}=\frac{50\sqrt{3}}{2BF}=\frac{25\sqrt{3}}{BF}$

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABF, segue que

$AB^{2}=AF^{2}+BF^{2}$

$10^{2}= (\frac{25\sqrt{3}}{BF})^{2}+BF^{2}$

$100= \frac{1875}{BF^{2}}+BF^{2}$

$100BF^{2}= 1875+BF^{4}$

$BF^{4} -100BF^{2} +1875 = 0$ ....(I)

Considere $BF^{2} = x$, assim, a equação (I) fica:

$x^{2} -100x +1875 = 0$

Resolvendo essa equação, obtém-se

x = 25 ou x = 75

1) Para x = 25, segue que

$BF^{2} = 25$

$BF = 5$

e

$AF = FC = \frac{25\sqrt{3}}{BF} = \frac{25\sqrt{3}}{5} = 5\sqrt{3}$

Pelo Teorema da base média do triângulo,

$GE= \frac{10\sqrt{3}}{2}=\5\sqrt{3}$

Logo,

$GH=HE= \frac{5\sqrt{3}}{2}$

Assim,

$AI=\5\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo AGI:

$AG^{2}=GI^{2}+AI^{2}$

$5^{2}=GI^{2}+(\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}$

$25=GI^{2}+\frac{75}{4}$

$GI^{2}=25-\frac{75}{4}$

$GI^{2}=\frac{100-75}{4}$

$GI^{2}=\frac{25}{4}$

$GI=\frac{5}{2}$

Logo, a altura do trapézio é $GI=HF=\frac{5}{2}$ cm.

2) Para x = 75, segue que

$BF^{2} = 75$

$BF = 5\sqrt{3}$

e

$AF = FC = \frac{25\sqrt{3}}{BF} = \frac{25\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = 5$

Pelo Teorema da base média do triângulo,

$GE= 5$

Logo,

$GH=HE= \frac{5}{2}$

Assim,

$AI=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo AGI:

$AG^{2}=GI^{2}+AI^{2}$

$5^{2}=GI^{2}+(\frac{5}{2})^{2}$

$25=GI^{2}+\frac{25}{4}$

$GI^{2}=25-\frac{25}{4}$

$GI^{2}=\frac{100-25}{4}$

$GI^{2}=\frac{75}{4}$

$GI=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Logo, a altura do trapézio é $GI=HF=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm, ou seja, alternativa (B).