Question

o triangulo ABC sabe-se que ab mede 10, esta inscrito numa circunferência de diâmetro 20 cm. determine a medida do angulo c deste triangulo

Answer 1

Olá.

O mais correto aqui é não deduzir o que não foi afirmado no problema, e sim calcular.

Os únicos dados que temos são:

- circunferência com diâmetro 20cm

- triângulo ABC inscrito, com lado AB = 10cm.

Daqui não podemos afirmar a forma do triângulo, nem dar por certeza que um de seus lados seja o diâmetro da circunferência. A forma mais isenta e correta é considerar o chamado "triângulo qualquer", pois ele bem pode ser retângulo, como pode ser acutângulo ou obtusângulo.

Mas para calcular o ângulo C podemos lançar mão de três propriedades:

==========================

1) Lei dos Senos

$\frac{a}{senA} =\frac{b}{senB} =\frac{c}{senC} =2R$

Se diâmetro = 20cm, então raio = 10cm.

E sabemos que c = 10cm, pois que o lado c é o lado oposto ao ângulo C e está entre os pontos A e B. Ou seja, o lado c é o segmento AB.

$\frac{c}{senC} =2R$

$\frac{10}{senC} =2*10$

$\frac{10}{senC} =20$

$\frac{10}{20} =senC$

$senC = \frac{1}{2}$

$arcsen\frac{1}{2}=30\°$  (Se não aprendeu a calcular funções trigonomérticas inversas pode usar a tabela de ângulos notáveis e conferir que o ângulo que tem seno igual a um meio é o ângulo de 30 graus).

Portanto,

$C=30\°$

======================

2) Propriedade: Ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência possuem a mesma amplitude.

Se um lado do triângulo inscrito passa pelo centro da circunferência esse lado será diâmetro dessa circunferência.

Sendo assim, podemos mover o ângulo C para uma outra posição que chamaremos de C' e criar um novo triângulo, agora sim, com um dos lados passando pelo centro da circunferência para aproveitar a informação de que a medida do diâmetro é 20cm.

E então fazer os cálculos normalmente, pois ambos os triângulos terão em seu lado AB o mesmo arco AB da circunferência, e portanto esse lado AB (ou segmento AB, ou corda AB) valerá os 10cm.

Daí então, usamos outra propriedade:

Propriedade: Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência (ou seja, um de seus lados é diâmetro) é triângulo retângulo.

Se o novo triângulo ABC' é retângulo, será reto em um dos ângulos e poderemos utilizar a relação métrica do triângulo retângulo chamada seno,

onde seno de um ângulo é a razão entre o lado oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

A hipotenusa desse triângulo é o diâmetro 20.

E o lado oposto ao ângulo C' é o lado AB = 10cm (ou lado c)

$sen = \frac{CatetoOposto}{hipotenusa}$

$senC' = \frac{AB}{hipotenusa}$

$senC' = \frac{10}{20}$

$senC' = \frac{1}{2}$

E usando a tabela dos ângulos notáveis podemos ver que 1/2 é o valor do seno de 30°.

Portanto,

$C' =30\°$

E como os ângulos C' e C produzem o mesmo arco AB na circunferência, então também

$C=30\°$

===========

Beleza?

Estude as propriedades. Entender é alcançar.

Abraços.