Question

O triângulo ABC representa um pedaço de cartolina, do qual queremos recortar um retângulo APQR, sendo P o lado AB e Q no lado BC.
a) Tomando P a 30 cm de A, qual será a área do retângulo recortado?
b) Expresse a área y do retângulo em função da distância x de P a A.
c) Qual é a área máxima do retângulo?

URGETEEEEEEEEEEEEEEEE

Answer 1

Respostas:

a) 450 cm²

b) $A = 60x-\frac{3x^2}{2}$

c) 506, 25 cm²

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a) Tomando P a 30 cm de A, qual será a área do retângulo recortado?  (vide Anexo I: temos dois triângulos semelhantes). Vamos achar primeiro a hipotenusa do triângulo maior.

No triângulo maior: AC = 60 cm     AB = 40 cm       BC = ?

Usando Teorema de Pitágoras:

(BC)² = (AB)² + (AC)²

(BC)² = 40² + 60²

(BC)² = 1 600 + 3 600

(BC)² = 5 200

BC = $\sqrt{5200}$

BC = $20\sqrt{13}cm$

Relação de Semelhança entre Triângulos:  

Triângulo maior: AC = 60 cm     AB = 40 cm       BC = $20\sqrt{13}$

Triângulo menor: QP = h           BP = 10 cm         BQ = y

$\frac{60}{h} = \frac{40}{10}= \frac{20\sqrt{13} }{y}$

$y = \frac{10.20\sqrt{13} }{40}$

$y = \frac{200\sqrt{13} }{40}$

$y =5 \sqrt{13}cm$ ⇒ hipotenusa do triângulo menor nosso parâmetro pra achar h

Calculando h:

$\frac{h}{60} = \frac{5\sqrt{13} }{20\sqrt{13} }$

$h=\frac{60.5\sqrt{13} }{20\sqrt{13} }$

$h = \frac{300\sqrt{13} }{20\sqrt{13} }$

$h = \frac{300}{20}$

$h= 15 cm$ ⇒ cateto do triângulo menor e lado menor do retângulo

Achando a área do retângulo recortado:

Lado maior 30 cm. Lado menor 15 cm.

A = 30 . 15

A = 450 cm²

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b) Expresse a área y do retângulo em função da distância x de P a A.

Tangente do ângulo B do riângulo maior = tangente do ângulo B do triângulo menor por semelhança.  

TangB = Tang B

$\frac{60}{40}=\frac{h}{40-x}$  ⇒ (vide anexo III)

$h = \frac{60(40-x)}{40}$

$h=\frac{2400-60x}{40}$ ⇒ simplifica por 20

$h=\frac{120-3x}{2}$

Área = x.h ⇒ (vide anexo II) onde h = y

$A = x(\frac{120-3x}{2})$

$A = \frac{120x -3x^2}{2}$

$A = \frac{120x}{2}-\frac{3x^2}{2}$

$A = 60x-\frac{3x^2}{2}$

c) Qual é a área máxima do retângulo?

  O perímetro do retângulo é: P = 2x + 2y    (vide anexo II)

  P = 2 . 30 + 2. 15

  P = 60 + 30

  P = 90 cm

2x + 2y = 90 ⇒ simplifica por 2

 x + y = 45

 x = 45 - y

 Área do Retângulo:

A = xy              A = (45 - y) y        A = 45y - y²  ⇒ falta calclar área máxima

Valor máximo:

Δ = 45² - 4.(-1).0         Δ = 2 025 cm²

$Vy = \frac{- 2025}{4.(-1)}$

$Vy = \frac{-2025}{-4}$

$Vy = 506,25 cm^2$ ⇒ área máxima

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