Question

O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Determine a distâncias entres os pontos AB, BC, AC ?

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

I) Distância entre dois pontos:

Note que na distância entre o ponto A e B existe uma variação tanto no eixo x quanto no eixo y, logo, a distância entre os pontos deve ser dada em função dessas variações.

A distância entre os pontos A(xa,ya) e

B(xb,yb) é definida pelo comprimento do segmento representado por d(ab) e tem medida dada por:

$\begin{cases} \boxed{d = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (yb - ya) {}^{2} } } \\ \\ ou \\ \\ \boxed{d = \sqrt{(xc - xa) {}^{2} + (yc - ya) {}^{2} } } \\ \\ ou \\ \\ \boxed{ d = \sqrt{(xc - xb) {}^{2} + (yc - yb) {}^{2} } } \end{cases}$

Cada elemento desse (Xa, Xb, Ya...) são os valores das abscissas e ordenadas dos pontos A,B e C.

Sabendo que uma coordenada é expressa da seguinte forma:

$\begin{cases}\textit{ C(abscissa,ordenada}) \\ abscissa \rightarrow valor \: de \: x \\ ordenada \rightarrow valor \: de \: y \end{cases}$

Vamos identificar os valores das abscissas e ordenadas de A, B e C seguindo esse princípio.

$\begin{cases} A (2, 2) \rightarrow xa = 2 \: \: \: \: ya = 2\\ B ( - 4, - 6) \rightarrow xb = - 4 \: \: \: \: \: yb = - 6 \\ C (4, - 12) \rightarrow xc = 4 \: \: \: \: yc = - 12\end{cases}$

Agora vamos começar de fato os cálculos.

I) Distância AB.

$d = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (yb - ya) {}^{2} } \\ \\ d \: (ab) = \sqrt{( - 4 - 2) {}^{2} + ( - 6 - 2) {}^{2} } \\ \\ d \: (ab) = \sqrt{( - 6) {}^{2} + ( - 8) {}^{2} } \\ \\ d \: (ab) = \sqrt{36 + 64} \\ \\ d \: (ab) = \sqrt{100} \\ \\ \boxed {\: d (ab)= 10 \: \: u.c}$

II) Distância BC

$d = \sqrt{(xc - xb) {}^{2} + (yc - yb) {}^{2} } \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{( 4 - ( - 4) {}^{2} + ( - 12 -( - 6) ){}^{2} } \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{(4 + 4) {}^{2} + ( - 12 + 6) {}^{2} } \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{(8) {}^{2} + ( - 6) {}^{2} } \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{64 + 36} \\ \\ d \: (bc) = \sqrt{100} \\ \\ \boxed{d \: (bc) = 10 \: \: u.c}$

III) Distância AC:

$d \: (ac) = \sqrt{(xc - xa) {}^{2} + (yc - ya) {}^{2} } \\ \\ d \: (ac) = \sqrt{(4 - 2) {}^{2} + ( - 12 - 4 ) {}^{2} } \\ \\ d \: (ac) = \sqrt{( 2) {}^{2} + (16) {}^{2} } \\ \\ d \: (ac) = \sqrt{4 + 256} \\ \\ d \: (ac) = \sqrt{260} \\ \\ d \: (ac) = \sqrt{2 {}^{2} .5.13} \\ \\ \boxed{d \: (ac) = 2 \sqrt{65} \: \: u.c}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️