Question

O Triângulo ABC, de vértices A(-1, -2), B(1, -2) e C(1, m), têm áreas igual a 10, então M é:

A) -8 ou 12
B) 4 ou -6
C) 6 ou 10
D) -6 ou -10
E) 6 ou -10

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor de "m" para que o triângulo ABC abaixo caracterizado tenha área igual a "10" u.a. (u.a. = unidades de área). As características desse triângulo são os seus vértices, que são: A(-1; -2), B(1; -2) e C(1; m).

Agora veja: a partir das coordenadas dos vértices de um triângulo poderemos calcular a sua área da seguinte forma: calcula-se "1/2" do módulo do determinante da matriz formada pelas coordenadas de cada vértice.
Assim, teremos, já colocando a matriz em forma de calcular o seu determinante e igualando-a a "10".

.........||-1....-2....1|-1....-2||
(1/2)*||1.....-2....1|1.....-2|| = 10 ----- desenvolvendo, temos:
.........||1.....m....1|1.....m||

(1/2)*|(-1)*(-2)*1 + (-2)*1*1 + 1*1*m - [1*(-2)*1+m*1*(-1)+1*1*(-2)]| = 10
(1/2)*|2 - 2 + m - [-2 - m - 2]| = 10
(1/2)*|m - [-4 - m]| = 10
(1/2)*|m + 4 + m| = 10 ---- reduzindo os termos semelhantes:
(1/2)*|2m + 4| = 10 ---- ou o que é a mesma coisa
|2m + 4|/2 = 10 ----- multiplicando em cruz, teremos:
|2m + 4| = 2*10
|2m + 4| = 20 ---- agora vamos às condições de existência de funções modulares. Assim:

i) para (2m+4) ≥ 0, teremos:

2m + 4 = 20
2m = 20-4
2m = 16
m = 16/2
m = 8 <---- Esta é uma resposta válida.
 
ii) para (2m+4) < 0, teremos:

- (2m + 4) = 20
- 2m - 4 = 20
- 2m = 20 + 4
- 2m = 24 ------ multiplicando ambos os membros por "-1", temos:
2m = - 24
m = - 24/2
m = - 12 <---- Esta é outra resposta válida.

iii) Assim, teremos que as respostas poderão ser:

8 ou - 12 <---- Esta é a resposta.

Note, a propósito, que a opção "a" está com: -8 ou 12, quando o correto deverá ser "8" ou "-12". Por isso, pedimos que você reveja esta opção, ou pelo menos reveja as coordenadas dos vértices dados.
 
Deu pra entender bem?


OK?
Adjemir.