Question

O triângulo ABC da figura é equilátero, AM = MB = 5 e CD = 6. O
valor de AE é?

Alguém pode ajudar?

Answer 1

Teorema de Menelaus!!
AE.CD.BM = AM.CE.BD
AE.6.5 = 5.CE.16
3AE = 8CE
CE = _3AE_
             8
sabendo que CE + AE = 10 (lado do ΔABC)
_3AE_  + AE = 10
   8 
3AE  + 8AE = 80
11AE = 80
AE = 80/11  
Resposta: AE = 80/11

Answer 2

Com base na figura dada, o valor de AE é 80/11, ou seja, 7,27 aproximadamente.

Para chegar a essa resposta deve-se saber um importante conceito da geometria: O Teorema de Menelaus.

Teorema de Menelaus

• O Teorema de Menelaus é um teorema util na resolução de problemas envolvendo triângulos e está relacionado com conjuntos de determinados pontos que são colineares, ou com conjuntos de segmentos que são concorrentes.

• O teorema consiste em traçar as perpendiculares que saem dos vértices do triângulo ABC à reta r (vide imagem em anexo).
• Por semelhança de triângulos, encontra-se a seguinte relação:

        $\frac{MA}{MB} .\frac{LC}{LA} .\frac{NB}{NC} = 1$

Com base nessas informações, podemos assumir que o Teorema de Menelaus para a figura em questão fica:

$\frac{EA}{EC} .\frac{MB}{MA} .\frac{DC}{DB} = 1$

Como EA = AE:

$\frac{AE}{EC} .\frac{5}{5} .\frac{6}{10+6} = 1\\\\\\\frac{AE}{EC} .\frac{6}{16} = 1\\\\\\\frac{AE}{EC} =\frac{16}{6}$

Como AE + EC = 10, temos que:

$\frac{AE}{EC}=16/6\\\frac{AE}{10-AE}=16/6\\\\6AE = 160 - 16AE\\22AE = 160\\AE = 80/11$

Logo AE = 80/11 ≅ 7,27.

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