O triângulo ABC Da figura abaixo tem área S. A área da região hachurada é, em função de S :
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Soluções para a tarefa
Olá! Não sei se este é o modo mais fácil ou rápido de resolver essa questão.
Se o segmento pertence à reta bissetriz de
, então:
Atribuamos e
.
Visto que é um triângulo retângulo e lembrando que
, podemos calcular
em função de
.
Logo:
Essa razão corresponde à tangente de . Observe na figura que os catetos oposto e adjacente de
são, respectivamente,
e
.
Ainda no , da seguinte forma é possível calcular o seno de
:
E então seu cosseno pode ser obtido por:
Pela relação da tangente do ângulo metade (se desejar a demonstração, comente), podemos encontrar a tangente de .
Através da Relação Fundamental da Trigonometria chega-se na seguinte relação (se desejar a demonstração, comente), a qual pode nos fornecer o cosseno de .
Então seu seno é:
Pelo dados do enunciado, facilmente conclui-se que e, então,
.
Atribuamos .
Para , a soma de seus ângulos internos:
.
Logo: .
Por conseguinte:
Pela identidade do seno do arco suplementar:
Pela relação do seno da soma de arcos:
Considere o ponto de intercepção dos segmentos
e
.
Chamemos de a área hachurada;
, a área de
; e de
a área de
.
Considere a altura de
relativa ao lado
.
Assim, a área de é:
Mas:
Pela Lei dos Senos em :
Substituindo na fórmula da área de :
De , nota-se que
. A área
de
pode ser expressa por:
Pela fórmula simples da área de um triângulo, temos que a área de
é tal que:
Por fim, a área hachurada é igual a diferença entre as áreas de e
. Temos, então:
Qualquer dúvida, comente! Bons estudos!