Question

O triangulo abaixo é retângulo em B e as medidas dos catetos sao ab=x e bc=x+1 cos o=0,8; a medida de x é igual a?

Answer 1

Utilizando o teorema de Pitágoras e a relação cosseno, temos que x=3, alternativa e.

Teorema de Pitágoras

Dado um triângulo retângulo, temos que, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Para o triângulo retângulo dado, temos:

$AC^2 = AB^2 +BC^2 \\ </p><p>AC^2 = x^2 + (x +1)^2 \\ </p><p>AC = \sqrt{ 2x^2 + 2x + 1}$

A relação trigonométricas do cosseno

Dado um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto no vértice B. O cosseno do ângulo formado em qualquer um dos vértices A ou C desse triângulo é o quociente entre as medidas do cateto adjacente e da hipotenusa.

Temos que, o cosseno do ângulo formado no vértice C é igual a BC/AC. Como o cosseno do ângulo formado no vértice C é 0,8, temos que:

$0,8 = \dfrac{x + 1}{\sqrt{2x^2 +2x + 1}} \\ </p><p>1,28x^2 + 1,28x + 0,64 = x^2 +2x +1 \\ </p><p>0,28 x^2 - 0,72x - 0,36 = 0 \\ </p><p>x = \dfrac{-0,28 \pm \sqrt{0,28^2 - 4*0,28*(-0,36)}}{2*0,28} \\ x = \frac{72 \pm \: 96}{56}$

Temos as soluções x = 3 e x =-3/7. Como a medida deve ser positiva, temos que x = 3.

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