O trapézio ABCD abaixo, circunscrito à circunferência de raio 8cm, é isósceles e tem área igual a 320cm2. Podemos afirmar que a razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADC, nessa ordem é igual a:
A) 4
B) 2
C) 1
D) 5
E) 8
Gabarito: letra A
Soluções para a tarefa
h = 2r = 16
ABC = (2x.h)/2 = 16x
ABCD = (2x+2k).h/2 = 320
⇒ x+k = 20
ADC = 320 - 16x = 16.(20-x)
razão = ABC / ADC
razão = 16x / 16.(20-x)
razão = x / (20-x)
(k+x) ² = 16 ² + (x-k) ²
k ² +2kx + x ² = 16 ² + x ² -2kx + k ²
4kx = 16 ²
kx = 64
sistema:
x+k = 20
kx = 64
⇒ k.(20-k) = 64
k ² -20k +64 = 0
Δ = (-20) ² -4.1.64 = 144
k = (20 ± 12) / 2.1
k’ = 32/2 = 16
k” = 8/2 = 4
Naturalmente k será =4.
∴
razão = 16 / 20-16
razão = 16/4 = 4
Resposta:
Alternativa a)
Explicação passo-a-passo:
Chamando de B como a base maior, b a base menor e h a altura do trapézio.
A área (A) é definida:
A=(B+b)h/2
Do enunciado:
r= 8 cm
A = 320 cm²
Como o circulo está inscrito ele tangência o trapézio em B e b, formando um ângulo de 90°. Assim,
h=2r=2.8=16 cm
A=(B+b)h/2
320=(B+b).16/2
B+b=40 (I)
Num trapézio isósceles, com uma circunferência inscrita, a altura ao quadrado é igual ao produto de B e b (propriedade - ver desenvolvimento)
h²=Bb
16²=Bb
Bb=256 (II)
É solicitado a razão entre as área dos triângulos ABC e ADC
A(ΔABC)=B.h/2
A(ΔADC)=b.h/2
A(ΔABC)/A(ΔADC)=B.h/2÷b.h/2=B.h/2.2/b.h=B/b (III)
De I e II, temos o sistema:
B+b=40 (I)
Bb=256 (II)
De (I), B=40-b substituindo em (II)
b(40-b)=256
b²-40b+256=0
Para b=8, de (I)
B=40-8=32
Para b=32, de (I)
B=40-32=8, descartar essa solução porque b>B
De (III)
B/b=32/8=4
Obs. Propriedade do trapézio isósceles
Na figura abaixo temos as projeções da vértice b sobre B formando um triângulo retângulo.
2m+b=B
2m=B-b
m=(B-b)/2
Do triângulo retângulo:
L²=h²+m²
Teorema de Ptolomeu
L=(B+b)/2
[(B+b)/2]²=h²+[(B-b)/2]²
B²+2Bb+b²=4h²+B²-2Bb+b²
4Bb=4h²
h²=Bb
