Question

O trabalho executado por uma força constante é dado por , em que representa a força executada por ou sobre um objeto e é o deslocamento ocorrido com a ação da força.

Neste exercício, vamos considerar uma mola. Em sua posição de repouso, temos que . Iremos distender a mola e posicionar um bloco em sua extremidade livre. A mola está presa em um anteparo na outra extremidade. A força exercida sobre a mola é dada por , a chamada Lei de Hooke, sendo a constante elástica da mola e o deslocamento.

Sendo assim, qual é o trabalho realizado quando o bloco de desloca de até (unidades de comprimento)?

Answer 1

A expressão $\tau = F \times d$ para o trabalho de uma força ao longo de um deslocamento $d$ é válida apenas para forças constantes.

Segundo a lei de Hooke, a força é proporcional ao deslocamento, ou seja:

$F = -kx,$

pelo que a força varia com a posição.

Ainda assim, ao longo de um deslocamento infinitesimal entre $x$  e $x+\textrm{d}x$, podemos considerar a força aproximadamente constante, pelo que o trabalho efetuado ao longo desse deslocamento é de facto dado por:

$\textrm{d}\tau = F \textrm{ d}x = -kx\textrm{ d}x.$

Para obter o trabalho entre as posições $x= 0.5$ e $x = 0$, basta agora integrar:

$\tau = \displaystyle\int\textrm{d}\tau = -k\int\limits_{0.5}^0 x\textrm{ d}x = k\int\limits_0^{0.5} x\textrm{ d}x = k\dfrac{x^2}{2}\Big\vert_0^{0.5} = k \left(\dfrac{0.5^2}{2} - \dfrac{0^2}{2}\right) = \dfrac{k}{2^3} = \dfrac{k}{8}.$

Note o significado físico de $\tau > 0$: como a posição inicial é maior do que a posição de equilíbrio, a força tem a mesma direção do deslocamento, pelo que o trabalho é positivo.