Question

O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41.Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro.O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor mede?

Answer 1

Olá, tudo bem?

O número de diagonais de um polígono é dado por:
$d= \frac{n(n-3)}{2}$

Onde n é o número de lados. 
Vamos chamar o número de lados do polígono menor de "x" e do maior de "y", onde y=x+2 e montemos uma equação. Veja:

$\frac{x\cdot(x-3)}{2}+ \frac{y\cdot(y-3)}{2}=41\ \ (y=x+2)\\\\ x\cdot(x-3)+(x+2)\cdot(x+2-3)=41\cdot2\\ x\cdot(x-3)+(x+2)\cdot( x-1)=82\\ x^2-3x+x^2-x+2x-2=82\\\\ \boxed{2x^2-2x-84=0}\\ (a=2,b=-2,c=-84)$

Agora resolva Bháskara:
$2x^2-2x-84=0\ (para\ x\ \textgreater \ 0)\\\\ \Delta=b^2-4\cdot a\cdt c\\ \Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-84)\\ \Delta=4-(-672)\\\\ \boxed{\Delta=676}\\\\\\ x= \frac{-b\±\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \\\\ x= \frac{-(-2)\± \sqrt{676} }{2\cdot2} \\\\ x= \frac{2\±26}{4}\\\\\\ x_1= \frac{2+26}{4}= \frac{28}{4}=\ \textgreater \ \boxed{x_1=7}\\\\\\ x_2= \frac{2-26}{4}= \frac{-24}{4}=\ \textgreater \ \boxed{x_2=-6}\\\\\\ \boxed{\boxed{S(Para\ x\ \textgreater \ 0)=\{7\}}}$

$\boxed{x=7}\\ y=x+2=\ \textgreater \ \boxed{y=9}$

Descobrimos que polígonos têm 7 e 9 lados respectivamente.
sabemos também que quanto mais lados têm um polígono, menor é seu ângulo central. Logo o polígono que tem o ângulo central menor é o eneágono(polígono com 9 lados)

Pela fórmula que adaptamos na pergunta anterior podemos descobrir o valor de um ângulo interno desse polígono:

$A= \frac{(n-2)\cdot180\°}{n}\\\\ A= \frac{(9-2)\cdot180\°}{9}=\\\\ A= \frac{7\cdot180\°}{9}=\\\\ A= \frac{1260}{9}\\\\ \boxed{\boxed{A=140\°}}$

RESPOSTA:140°

Obs: Na equação do segundo grau coloquei o conjunto solução em x>0 porque não existe números de lados negativos.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!

Answer 2

Logo, o polígono que tem mais lados é o eneágono (n = 9), e a soma das medidas de seus ângulos internos é 180º (9 - 2) = 180º . 7 = 1 260°.

Portanto, alternativa e.