Question

O total de anagramas da palavra NACIONAL em que, as vogais e as consoantes aparecem juntas é:
a)288
b)480
d)1152
e)1200​

Answer 1

Boa noite!

NACIONAL → 8 letras

• A questão tem duas complicações: tem repetição e ainda ainda é solicitado restrição de letras

Repetições na palavra:

(a) → duas vezes

(n) → duas vezes

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Vogais na palavra: (a, a, i, o)

Consoantes na palavra: (n, n, l, c)

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• Podemos montar uma expressão para resolver este problemas, pois sabemos que as repetições nos rende uma divisão.

• Perceba que a questão não pede ORDEM para a disposição das vogais ou consoantes, ou seja, estas podem permutar entre si.

→ Vamos utilizar o princípio multiplicativo da contagem para entender a resolução.

São 8 espaços, mas vamos dividir em dois momentos para melhor entendimento.

Para as vogais:

__4__×__3__×__2__×__1__ = 4!

Para as consoantes:

__4__×__3__×__2__×__1__ = 4!

Com isso, sabendo que esses fatores são originários de uma multiplicação, temos;

4!×4! → Em qualquer ORDEM

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NACIONAL → 8 letras

NACIONAL → 2 letras

• Consideramos tanto o grupo das vogais quanto o das consoantes como uma única letra, pois esta permutação vai representar uma troca de espaço do grupo inteiro( junto).

Para a movimentação de ambos os grupos inteiros, temos;

Pn=n!

P2=2!

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Se você voltar ao inicio da resposta, vai notar que foi especificado as repetições presentes na palavra. Estas são representadas da seguinte maneira;

(a) → duas vezes = 2!

(n) → duas vezes = 2!

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Tendo todos os dados, podemos montar nossa expressão.

$\mathbf{A}=\mathbf{\frac{(4!\times4!)\times2!}{2!2!}}$

$\mathbf{A}=\mathbf{\frac{576\times2}{2\times2}}$

$\mathbf{A}=\mathbf{\frac{1152}{4}}$

$\mathbf{A}=\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{288 Anagramas}}}}$

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Att;Guilherme Lima