Question

O terreno de um produtor rural, de perímetro 35 m,
tem o formato de um triângulo escaleno ABC. Ao longo
do lado AB estão plantadas macieiras, e, ao longo do lado
AC, bananeiras. O produtor construiu um caminho retilíneo
a partir do vértice A até o lado BC, de tal forma que quem
andasse sobre esse caminho estivesse sempre à mesma
distância dos lados AB e AC. Dessa forma, qualquer pessoa,
ao andar por esse caminho, poderia percorrer uma mesma
distância para ir ao encontro das macieiras ou bananeiras,
ou seja, esse caminho é a bissetriz do ângulo BAC.
P é a outra extremidade do caminho construído pelo produtor.
Além disso, sabe-se que a bissetriz de um ângulo divide o lado
oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes,
e que BP corresponde a 6 m e PC a 8 m.
Os comprimentos, em metros, dos lados onde estão plantadas
as macieiras e as bananeiras no terreno do produtor rural
são, respectivamente, iguais a
A. 7 e 14.
B. 8 e 13.
C. 9 e 12.
D. 12 e 9.
E. 14 e 7.

Answer 1

Os comprimentos, em metros, dos lados onde estão plantadas as macieiras e as bananeiras no terreno do produtor rural são, respectivamente, iguais a 9 e 12.

Observe o que diz o Teorema da Bissetriz Interna:

• Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais ao lados adjacentes.

Vamos considerar que o lado AB do triângulo é igual a x e o lado AC é igual a y.

De acordo com o teorema acima, é verdade que BP/AB = PC/AC.

Como BP = 6 m e PC = 8 m, então:

6/x = 8/y

y = 8x/6

y = 4x/3.

Temos a informação de que o perímetro do triângulo é igual a 35 metros. Sabemos que perímetro é igual à soma de todos os lados, ou seja:

x + y + (6 + 8) = 35

x + y + 14 = 35

x + y = 21.

Substituindo o valor de y na soma acima:

x + 4x/3 = 21

3x + 4x = 63

7x = 63

x = 9 → lado onde estão plantadas as macieiras.

Consequentemente, o valor de y é:

y = 4.9/3

y = 4.3

y = 12 → lado onde estão plantadas as bananeiras.

Portanto, podemos concluir que a alternativa correta é a letra c).