Question

O termo independente de x no desenvolvimento de x+(1/x) 6 é

Answer 1

Temos que o termo independente do desenvolvimento é 20.

Binômio de Newton

O Binômio de Newton refere-se a potência na forma $(x+y)^{n}$ , onde x e y são números reais e n é um número natural.

Para determinar qualquer termo do binômio de Newton usaremos a equação do Termo geral do binômio de Newton, dada pela seguinte expressão:

$\boxed{T_{k+1} = \dbinom{n}{k}x^{n-k}y^{k} }$

Termo independente

Calcular o termo independente refere-se ao termo que não depende da variável, vamos mostra de forma simples no exemplo abaixo:

(x + 2)² = x² + 4x + 4

Note que, o terceiro termo do desenvolvimento é 4 e que ele não é acompanhado da variável x, logo entendemos que 4 é o termo independente.

Resolução do problema

Para solucionar nossa questão, iremos utilizar o Termo Geral do Binômio de Newton, logo temos:

n = 6

$T_{k+1} = \dbinom{6}{k} x^{6-k} (\frac{1}{x})^{k}$

Precisamos que $x^{6-k}.\ x^{-k} = 1$ , para isso, iremos resolver uma equação exponencial:

$x^{6-k}.\ x^{-k} = 1\\\\x^{6-2k}=x^{0} \\\\Igualando\ os \ expoentes\\\\6-2k=0\\2k=6\\k=3$

temos então, k = 3 e vamos substituir no termo geral:

$T_{k+1} = \dbinom{6}{k} x^{6-k} (\frac{1}{x})^{k} \\\\\\\\T_{3+1} = \dbinom{6}{3} x^{6-3} (\frac{1}{x})^{3} \\\\T_4 = \frac{6!}{(6-3)!3!} .\ x^{0} \\\\T_4 = \frac{6.5.4.3!}{3.2.3!} \\\\T_4 = 20$

Portanto, o termo independente é 20.

Espero ter ajudado! =)

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