Question

O termo independente de "x" no binômio (x + 1/x)^10 é igual a: ?? (com desenvolvimentos por favor)

Answer 1

Obs(Importantíssima).: simbolizarei a combinação-n,p ($C_{n,p}$) como ($\frac{n}{p}$) isto não é uma fração! a fração será simbolizada por $\frac{n}{p}$ - sem parênteses.

$(x+\frac{1}{x})^{10}$
Em seus estudos sobre binômio de Newton e o triângulo de Pascal, certamente verificou que no desenvolvimento de um binômio qualquer(ex.:$(x+y)^{a}$), conseguiremos uma expressão do formato:
ₐ
Σ $(\frac{a}{x})$$(x)^{a-x}(y)^{x}$
ˣ=⁰
Simplificando: $(x+y)^{a}$ = 
$(\frac{a}{0})x^{a}y^{0}+(\frac{a}{1})x^{a-1}y^{1}+...+(\frac{a}{a-1})x^{1}y^{a-1}+(\frac{a}{a})x^{0}y^{a}$
Caso não conheça essa elementar propriedade, recomendo que reestude o assunto.
Partindo deste princípio, buscaremos um termo, onde o expoente de $x$ seja igual ao expoente de $\frac{1}{x}$, pois $x^{n}*\frac{1}{x^{n}}=1$ como este um multiplicará o coeficiente que acompanha-o, obteremos o termo independente de $x$. Sendo assim:
$(x+\frac{1}{x})^{10}=(\frac{10}{0})x^{10}+(\frac{10}{1})x^{9}(\frac{1}{x})+(\frac{10}{2})x^{8}(\frac{1}{x})^{2}+...+(\frac{10}{n})x^{(10-n)}(\frac{1}{x})^{n}+...+(\frac{10}{10})(\frac{1}{x})^{10}$
Precisamos pensar em um número que atenda a condição:
$(10-n)-n=0$
Pois, como vimos anteriormente, faremos: $x^{(10-n)}(\frac{1}{x})^{n}$
Multiplicando: $\frac{x^{(10-n)}}{x^{n}}$ precisamos que essa divisão tenha quociente 1- para que o coeficiente $(\frac{10}{n})$ seja independente de $x$, para que isso ocorra o expoente final deve ser 0-, como temos uma divisão de potências de mesma base, devemos repetir a base ($x$) e subtrair os expoentes então:
$(10-n)-n=0$
$10-2n=0$
$2n=10$
$n=5$
Então, o termo independente será:
$(\frac{10}{n})x^{10-n}(\frac{1}{x})^{n}=(\frac{10}{5})\frac{x^{5}}{x^{5}}=(\frac{10}{5})$
Este é o número: 
$(\frac{10}{5})=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10*9*8*7*6*5!}{5!5!}=\frac{10*9*8*7*6}{5*4*3*2*1}=2*3*2*3*7=4*9*7=36*7=252$