Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 8 meses atrás

o termo independente de x do desenvolvimento de
(x +  \frac{1}{ {x}^{3} }  {)}^{12}
  é ?​

Soluções para a tarefa

Respondido por marcelo7197
6

Explicação passo-a-passo:

Binómio de Newton

Dado o binómio :

 \sf{ \red{ \Big( x + \dfrac{1}{x^3} \Big)^{12} } }

Usando a fórmula do termo geral binomial :

 \sf{ \huge{ T_{p + 1}~=~ C^{n}_{p} * a^{n - p}*b^{p} } }

Então :

 \iff \sf{ T_{p + 1}~=~ C^{12}_{p}* x^{12-p}*(x^{-3})^{p} }

 \iff \sf{ T_{p + 1}~=~ C^{12}_{p} * x^{12-p}*x^{-3p} }

 \iff \sf{ T_{p + 1}~=~ C^{12}_{p} * x^{12 - 4p} }

Para que este termo seja independente é necessário que o expoente em x seja igual a zero.

 \blue{ \iff \sf{ 12 - 4p~=~ 0 }}

 \iff \sf{ 4p~=~12 }

 \iff \sf{ p~=~ \dfrac{12}{4} }

 \iff \boxed{ \sf{ \pink{ p~=~ 3 }   }}

Logo vamos ter que :

 \iff \sf{ T_{3 + 1}~=~ C^{12}_{4} * x^{0} }

 \iff \sf{ T_{4}~=~ \dfrac{12!}{3!(12 - 3)!} * 1 }

 \iff \sf{ T_{4}~=~ \dfrac{\cancel{12}*11*10*\cancel{9!}}{\cancel{6}* \cancel{9!} } }

 \iff \sf{ T_{4}~=~ 2*11*10~=~22*10 }

 \green{ \iff \boxed{ \boxed{ \sf{ T_{4}~=~220 } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }

Espero ter ajudado bastante!)

Respondido por Usuário anônimo
2

Explicação passo-a-passo:

\sf \left(x+\dfrac{1}{x^3}\right)^{12}

O termo geral é dado por:

\sf T_{p+1}=\dbinom{12}{p}\cdot x^{12-p}\cdot\left(\dfrac{1}{x^3}\right)^p

\sf T_{p+1}=\dbinom{12}{p}\cdot x^{12-p}\cdot\dfrac{1}{x^{3p}}

\sf T_{p+1}=\dbinom{12}{p}\cdot\dfrac{x^{12-p}}{x^{3p}}

\sf T_{p+1}=\dbinom{12}{p}\cdot x^{12-p-3p}

\sf T_{p+1}=\dbinom{12}{p}\cdot x^{12-4p}

Temos que:

\sf x^{12-4p}=x^0

Igualando os expoentes:

\sf 12-4p=0

\sf 4p=12

\sf p=\dfrac{12}{4}

\sf p=3

Logo, o termo independente de x é:

\sf T_{3+1}=\dbinom{12}{3}\cdot x^{12-4\cdot3}

\sf T_{4}=\dfrac{12\cdot11\cdot10}{3!}\cdot x^{12-12}

\sf T_{4}=\dfrac{1320}{6}\cdot x^0

\sf T_{4}=220\cdot1

\sf \red{T_{4}=220}

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