Question

o termo independente da expansao da expressao (x-2) 6 é:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gabcomvieira, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o termo independente na expansão da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "k" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

k = (x-2)⁶ .

ii) Antes de iniciar, veja que o desenvolvimento de expressões do tipo da expressão da sua questão é desenvolvida, normalmente, da seguinte forma. Digamos que a expressão seja esta: k = (x-a)ⁿ. Então qualquer que seja o termo que queiramos encontrar, ele sempre será dado por:

Tᵨ₊₁ = [C₍ ̼ ͺᵨ₎]*xⁿ⁻ᵖ * (-a)ᵖ

No caso da sua questão, como ela está proposta como: k = (x-2)⁶, então o nosso "a" será igual a "-2" e o nosso "n" será igual a "6". E o termo Tᵨ₊₁ significa que estamos procurando qual é o termo que se enquadra no que nós queremos que, no caso, é o termo do desenvolvimento acima que é independente de "x".

Ou seja, o que temos na fórmula aí de cima é isto: o termo (p+1) será igual à combinação de "n" elementos tomados "p" a "p" vezes "x" elevado a "n-p" vezes (-2) elevado a "p".

E como queremos o valor independente de "x", então você deve ter notado que isto ocorrerá quando o expoente de "x" for "0", pois todo número diferente de zero, quando ele está elevado a zero, é igual a "1". E sendo o "x" igual a "1", então o que encontrarmos será independente de "x", ou seja, não vai conter "x".

Então, verificando a fórmula [Tᵨ₊₁ = [C₍ ̼ ͺᵨ₎]*xⁿ⁻ᵖ * (-a)ᵖ] vemos que o "x" passará a ter expoente "0" quando "n" e "p" forem iguais a "6" (lembre-se sempre que qualquer desenvolvimento do tipo (a+b)ⁿ ele terá sempre "n+1" termos. Por isso é que: (a+b)² tem três termos; que (a+b)³ tem quatro termos e assim sucessivamente.

Vamos, portanto, tomar a nossa expressão acima e vamos substituir o "n" e o "p" por "6", com o que ficaremos assim:

T₆₊₁ = [C₍₆ͺ₆₎]*x⁶⁻⁶ * (-2)⁶ ----- desenvolvendo, teremos:

T₇ = [C₍₆ͺ₆₎]*x⁰ (-2)⁶ ---- como x⁰ = 1 e como (-2)⁶ = 64, ficaremos com:

T₇ = [C₍₆ͺ₆₎]*1*64 ------ ou apenas:

T₇ = [C₍₆ͺ₆₎]*64 --- agora vamos desenvolver a combinação de de "6" tomado "6" a "6", ficando assim:

T₇ = [6!/(6-6)!6!]*64 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

T₇ = [6!/0!6!]*64 ---- simplificando-se 6! do numerador com 6! do denominador, teremos:

T₇ = [1/0!]*64 ---- como 0! = 1, ficaremos com:

T₇ = [1/1]*64 ---- e, finalmente, como "1/1 = 1", iremos ficar apenas com:

T₇ = 1*64

T₇ = 64 <--- Esta é a resposta. Ou seja, o termo que é independente de "x", no desenvolvimento do binômio da sua questão será o 7º termo e este termo é igual a "64". Lembre-se, como já informamos antes, que o desenvolvimento de (a+b)ⁿ sempre tem (n+1) termos. No caso, como temos k = (x-2)⁶, então esse desenvolvimento vai ter 7 termos (6+1 = 7). E o termo que é independente de "x' é exatamente o último termo (que é o 7º termo).

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja que se você fosse trabalhar "na mãozona" iria notar que o desenvolvimento completo seria este:

(x-2)⁶ = x⁶ - 12x⁵ + 60x⁴ - 160x³ + 240x² - 192x + 64 <--- Olha aí como o 7º termo é, realmente, independente de "x".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.