Question

O termo central do desenvolvimento de (a+1/a)^8 é

Answer 1

Se o expoente é 8 então o desenvolvimento terá 9 termos.
Logo o termo central é o quinto,
Podemos determiná-lo de acordo com a fórmula:

$T_{p+1}=(^n_p).a^{n-p}.b^p\\ \\ T_{4+1}=(^8_4}).a^4.(\frac{1}{a})^4=(^8_4})=\frac{8!}{4!4!}=\frac{8.7.6.5}{4.3.2.1}=\frac{1680}{24}=70$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Ronando, que os termos de um desenvolvimento da forma (x+a)ⁿ é dado da seguinte forma:

C(n, ₀)*xⁿ*a⁰ + C(n, ₁)*xⁿ⁻¹*a¹ + C(n, ₂)*xⁿ⁻²*a² + .... + C(n,n)*x⁰*aⁿ

Assim, como você está vendo temos que os termos de um desenvolvimento sempre terá começo em: combinação de "n" elementos tomados "zero a zero" até combinação de "n" elementos tomados "n" a "n".

Bem, visto isso aí em cima, então se queremos o termo central (o termo do meio) do desenvolvimento (a + 1/a)⁸ , note que estamos indo procurar exatamente o termo que é dado por: combinação de "8" elementos tomados "4 a 4", pois, como começamos de combinação de "8" elementos tomados "zero a zero", então quando chegarmos em combinação de "8" elementos tomados "4 a 4", estaremos tratando do termo do meio (ou termo central).
Assim, teremos:

C₍₈, ₄)*a⁸⁻⁴*(1/a)⁴ = [8!/(8-4)!4!]*a⁸⁻⁴*(1/a)⁴

[8!/(8-4)!4!]*a⁴*(1/a)⁴ = [8!/4!4!]*a⁴/a⁴ ---- como a⁴/a⁴ = 1, então ficaremos apenas com:

[8!/4!4!]*1 = [8*7*6*5*4!/4!4!]*1 --- dividindo-se "4!" do numerador com um dos  "4!" do denominador, iremos ficar apenas com:

8*7*6*5/4! ---- como 4! = 4*3*2*1, teremos;

8*7*6*5/4*3*2*1 = 1.680/24 = 70 <--- Esta é a resposta. Este é o termo central do desenvolvimento da sua questão (a + 1/a)⁸.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, note o que teríamos se fôssemos desenvolver (a + 1/a)⁸. Veja aí:

(a + 1/a)⁸ = a⁸ + 8a⁶ + 28a⁴ + 56a² + 70 + 56/a² + 28/a⁴ + 8/a⁶ + 1/a⁸.
olha aí o termo do meio . . . . . . . . . . .↑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.