Question

O terceiro termo de uma PG é igual ao primeiro termo de uma PA e em ambas as sequencia s o segundo termo vale 30.Sabendo que a soma dos quatro primeiros termos da PA é igual a 90, determine o quarto termostato PG.

Answer 1

Boa noite!

Temos duas progressões com os dois primeiros termos iguais.
Na P.A.:
$a_1, 30$
Na P.G.:
$a_1, 30$

Na P.A. temos que a soma dos 4 primeiros termos vale 90.
$S_4=90\\ S_4=\frac{(a_1+a_4)4}{2}\\ \frac{(a_1+a_4)4}{2}=90\\ a_1+a_4=\frac{90}{2}\\ a_1+a_1+3r=45\\ 2a_1+3r=45\\ 2(30-r)+3r=45\\ 60-2r+3r=45\\ r=-15$

Agora que temos a razão podemos obter os termos da P.A.
$a_1=30+15=45\\ a_2=30\\ a_3=30-15=15\\ a_4=15-15=0$

E os termos da P.G.:
$a_1=45\\ a_2=30\\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\\ a_4=a_1\cdot{q^{4-1}}\\ a_4=45\cdot{\left(\frac{2}{3}\right)^3}\\ a_4=45\cdot{\frac{8}{27}}=\frac{40}{3}$

Espero ter ajudado!